(Twitter)
0
Hallo,
ich nehme an die Aufgabe ist es \( w \) durch Linearkombination der \( v_i \) darzustellen.
$$ w = av_1 + bv_2 + cv_3 $$
Mit \( a,b,c \in \mathbb{R} \) , da \( \mathbb{R} \) der Körper des Vektorraums ist. Außerdem gilt:
$$ w = ( \sin(x) + \cos(x) )^2 = \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos(x) + \cos^2(x) $$
Mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras und der Additionstheoreme erhälst du eine Ausdruck der schon sehr ähnlich zu einem der 3 Vektoren ist.
Guck mal ob du es ab da selbst hinbekommst. Ansonsten melde dich nochmal.
Grüße Christian
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Vielen Dank. Was ich nicht ganz verstehe ist, ob ich v1, v2, v3 und w dann auch mittels einer Matrize rausbekomme und wie ich sie in der Matrize anordne. Ich habe gelesen, dass man dazu noch die Ableitungen braucht, aber ich weiss nicht ganz warum.
─
medomedo
15.10.2019 um 10:52
Hmm ich muss ehrlich sagen ich hatte komplexe Vektorräume selbst nur kurz sehr allgemein in der Vorlesung.
Deshalb kenne ich persöhnlich jetzt keine Methode über die Ableitung. Aber diese kann es natürlich geben.
Aber ich versuch dir mal ein Gefühl für den Vektorraum \( \mathbb{C}(\mathbb{R}) \) zu geben.
Nehmen wir mal ganz allgemein eine komplexe Zahl
$$ z = a+ bi ,\ \text{mit} \ a,b \in \mathbb{R} $$
Wir können also jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahl eindeutig darstellen. Wenn wir \( a=0 \) und \( b =1 \) setzen, erhalten wir die imaginäre Einheit.
Mit dieser Idee, lassen sich komplexe Zahlen auch als zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen definieren.
Wir definieren \( 1 \in \mathbb{R} \) als \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( i \in \mathbb{C} \), als \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Damit können wir die komplexe Zahl \( z = a+ bi \) als
$$ z = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Um deine Funktionen in so eine Vektorschreibweise zu bringen, bräuchten wir also die Koeffizienten bzgl. einer Basis, also zuallererst eine Basis. Da wäre ich mir gerade unsicher wie diese aussieht. Vielleicht habt ihr dazu etwas in der Vorlesung gemacht?
Erst wenn du das geschafft hast, kannst du beispielsweise eine Matrix aufstellen.
Vielleicht hilft dir dabei die Ableitung?
Grüße Christian ─ christian_strack 15.10.2019 um 14:17
Deshalb kenne ich persöhnlich jetzt keine Methode über die Ableitung. Aber diese kann es natürlich geben.
Aber ich versuch dir mal ein Gefühl für den Vektorraum \( \mathbb{C}(\mathbb{R}) \) zu geben.
Nehmen wir mal ganz allgemein eine komplexe Zahl
$$ z = a+ bi ,\ \text{mit} \ a,b \in \mathbb{R} $$
Wir können also jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahl eindeutig darstellen. Wenn wir \( a=0 \) und \( b =1 \) setzen, erhalten wir die imaginäre Einheit.
Mit dieser Idee, lassen sich komplexe Zahlen auch als zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen definieren.
Wir definieren \( 1 \in \mathbb{R} \) als \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( i \in \mathbb{C} \), als \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Damit können wir die komplexe Zahl \( z = a+ bi \) als
$$ z = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Um deine Funktionen in so eine Vektorschreibweise zu bringen, bräuchten wir also die Koeffizienten bzgl. einer Basis, also zuallererst eine Basis. Da wäre ich mir gerade unsicher wie diese aussieht. Vielleicht habt ihr dazu etwas in der Vorlesung gemacht?
Erst wenn du das geschafft hast, kannst du beispielsweise eine Matrix aufstellen.
Vielleicht hilft dir dabei die Ableitung?
Grüße Christian ─ christian_strack 15.10.2019 um 14:17
Vielen Dank! ich versuche mal die Basis rauszubekommen.
─
medomedo
15.10.2019 um 21:38
Intuitiv würde ich denke ich auf \(\sin(x) \) und \( \cos(x) \) tippen. Rechne mal etwas rum, ob du alle damit darstellen könntest. Eventuell mittels Additionstheoreme und
$$ \sin(x) = \frac 1 {2i} (e^{ix} - e^{-ix} ) \\ \cos(x) = \frac 1 {2i} (e^{ix} + e^{-ix} $$
Grüße Christian ─ christian_strack 15.10.2019 um 21:42
$$ \sin(x) = \frac 1 {2i} (e^{ix} - e^{-ix} ) \\ \cos(x) = \frac 1 {2i} (e^{ix} + e^{-ix} $$
Grüße Christian ─ christian_strack 15.10.2019 um 21:42