\( i^2 = -4 \) gilt nicht.

\(i \) ist gerade so definiert, das \( i ^2 = -1 \) gilt bzw. es eine Lösung von \( x^2 + 1 = 0 \) darstellt. Entsprechend hat die Gleichung \( x^2 +4 = 0 \) als Lösungen \( \pm 2i \).

Warum ist denn bei dir unter anderem \(\sqrt{-4} = -4\) oder was genau machst du da?

So sollte es aussehen:

\(x^2+4 = 0 \quad|-4\)

\(x^2 = -4 \quad|Wurzel ziehen\)

\(x_{1,2} = \pm\sqrt{-4} = \pm\sqrt{-1\cdot4} = \pm\sqrt{-1}{\sqrt4} = \pm2\sqrt{-1} = \pm 2i\)

(Und selbst das ist nicht ganz sauber aufgeschrieben, dient vllt aber dem Verständnis. Normal schreibt man direkt:

\(x_{1,2} = \pm2i\))