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Hallo,
wir teilen zuerst die Abbildung auf
$$ x(r,\varphi)= r \cos(\varphi) \\ y(r,\varphi) = r \sin(\varphi) $$
Nun können wir beide Funktionen einzelnd untersuchen.
Es kommt etwas darauf an was ihr nutzen dürft. Ich denke aber das ihr in Ana I gezeigt habt, dass das Produkt stetiger Funktionen wieder stetig ist. Nun müsstest du maximal die Stetigkeit von \( \cos( \varphi) \) bzw \( \sin( \varphi) \).
zur b) für die Umkehrabbildung gilt
$$ F^{-1}(x,y) = ( r(x,y) , \varphi(x,y) ) $$
Kannst du die Funktionen aufstellen?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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$$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$
Denke da hast du dich nur vertippt :)
Deine Funktion \( \varphi(x,y) \) hängt von \( r \) ab. Das ist leider nicht möglich nutze dafür den selben Zusammenhang für \(r \). Du musst auch eine Fallunterscheidung machen, für positive und negative \(y\)-Werte. Man erhält
$$ \varphi = \left\{ \begin{matrix} \arccos(\frac x {\sqrt{x^2+y^2}}) \ \text{für} \ y\geq 0 \\ -\arccos(\frac x {\sqrt{x^2+y^2}}) \ \text{für} \ y < 0 \end{matrix} \right. $$
Grüße Christian ─ christian_strack 27.10.2019 um 13:06
Denke da hast du dich nur vertippt :)
Deine Funktion \( \varphi(x,y) \) hängt von \( r \) ab. Das ist leider nicht möglich nutze dafür den selben Zusammenhang für \(r \). Du musst auch eine Fallunterscheidung machen, für positive und negative \(y\)-Werte. Man erhält
$$ \varphi = \left\{ \begin{matrix} \arccos(\frac x {\sqrt{x^2+y^2}}) \ \text{für} \ y\geq 0 \\ -\arccos(\frac x {\sqrt{x^2+y^2}}) \ \text{für} \ y < 0 \end{matrix} \right. $$
Grüße Christian ─ christian_strack 27.10.2019 um 13:06
Stimmt, da hatte ich mich vertippt :). Mit dem r meine ich eigentlich auch genau das, was du jetzt da aufgeschrieben hast. Also war das erfreulicherweise richtig.
Meine größte Schwierigkeit ist aber tatsächlich das Zeigen von Stetigkeit im Allgemeinen. Wenn bereits der zweite Teil unstetig ist, brauche ich \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\) doch gar nicht weiter zu untersuchen, richtig?
Dann wäre die Frage nur, wie ich den Beweis der Unstetigkeit von
\(\varphi = \left\{ \begin{matrix} \arccos(\frac x {\sqrt{x^2+y^2}}) \ \text{für} \ y\geq 0 \\ -\arccos(\frac x {\sqrt{x^2+y^2}}) \ \text{für} \ y < 0 \end{matrix} \right.\)
richtig angehe. Der arccos an sich sollte doch stetig sein? Ich meine jedenfalls, das in der Analysis I einmal aufgeschnappt zu haben. ─ tisterfrimster 27.10.2019 um 13:53
Meine größte Schwierigkeit ist aber tatsächlich das Zeigen von Stetigkeit im Allgemeinen. Wenn bereits der zweite Teil unstetig ist, brauche ich \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\) doch gar nicht weiter zu untersuchen, richtig?
Dann wäre die Frage nur, wie ich den Beweis der Unstetigkeit von
\(\varphi = \left\{ \begin{matrix} \arccos(\frac x {\sqrt{x^2+y^2}}) \ \text{für} \ y\geq 0 \\ -\arccos(\frac x {\sqrt{x^2+y^2}}) \ \text{für} \ y < 0 \end{matrix} \right.\)
richtig angehe. Der arccos an sich sollte doch stetig sein? Ich meine jedenfalls, das in der Analysis I einmal aufgeschnappt zu haben. ─ tisterfrimster 27.10.2019 um 13:53
Bezüglich der Aufgabe b) habe ich die Definitionen von r und φ verwendet. Demnach müsste doch gelten:
\(F^{-1}(x,y)=(\sqrt{x^{2}+y^{2}},arccos(x/r))\)
Oder? Im Internet habe ich herausgefunden, dass der erste Teil für r wohl stetig ist und nur die Unstetigkeit für den zweiten Teil zu zeigen ist. Hast du da einen Tipp für den Ansatz?
Danke! ─ tisterfrimster 27.10.2019 um 12:22