Hallo,

für eine stabile Verteilung gilt

$$ M \cdot x = x $$

Dies gilt dann aber auch für jede Potenz von \( M \), denn

$$ M^2 \cdot x = M \cdot M \cdot x = M \cdot x = x $$

also auch für die Grenzmatrix, falls diese existiert

$$ M^n \cdot x = x $$

Also kannst du es immer ablesen wenn es eine gibt, da diese Matrizen die selbe stationäre Verteilung haben, aber eine solche Grenzmatrix muss nicht existieren, die stationäre Verteilung kann aber trotzdem existieren. 

Gucken wir uns dafür mal die folgende Verteilung an

$$ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Das Quadrat ergibt

$$ M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

die Einheitsmatrix und somit gilt \( M^3 = M \). 

Diese Matrix wechselt in der Potenz  also periodisch mit der Einheitsmatrix, hat somit keinen Grenzwert. Allerdings ist jeder Matrix mit gleichen Einträgen stationäre Verteilung, denn beispielsweise gilt

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} $$

Grüße Christian