Hallo,
dein Ansatz ist korrekt. Schreibe es dir mal auf und vereinfache es am besten dirkekt durch selbst gesetzte Parameter.
$$ \frac 1 {\sqrt{2\pi \cdot b} \sqrt[4]{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac {x^2} {2b^2}} \cdot e^{-ikx} \ \mathrm{d}x $$
Wir setzen \( a = \frac 1 {\sqrt{2\pi \cdot b} \sqrt[4]{\pi}} \), \( c = -\frac 1 {2b^2} \) und \( d= -ik \) und erhalten
$$ a \int_{-\infty}^{\infty} e^{c x^2} \cdot e^{dx} \ \mathrm{d}x $$
So sieht es schon viel schöner aus.
Nun verändern wir noch den Exponenten von \( e\)
$$ e^{cx^2 + dx} $$
wir führen eine quadratische Ergänzung durch
$$ cx^2 + dx = ( \sqrt{c}x + \frac d {2\sqrt{c}})^2 - \frac {d^2} {4c} $$
Somit erhalten wir das Integral
$$ a \int_{-\infty}^{\infty} e^{( \sqrt{c}x + \frac d {2\sqrt{c}})^2 - \frac {d^2} {4c}} = \frac a {e^{ \frac {d^2} {4c}}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{( \sqrt{c}x + \frac d {2\sqrt{c}})^2} \mathrm{d}x $$
Nun substituiere noch
$$ u = ( \sqrt{c}x + \frac d {2\sqrt{c}})^2 $$
und du kannst das Integral mit Hilfe deines Tipps lösen.
Grüße Christian
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$$ \frac {\sqrt{b}} {\sqrt[4]{\pi}} e^{-\frac{k^2b^2} {2}} $$
Grüße Christian ─ christian_strack 28.10.2019 um 15:59
So ich habe jetzt raus: \( \frac{1}{^4\sqrt{\pi}\sqrt{\frac{1}{b^2}}\sqrt{b}} \cdot e^{-\frac{k^2b^2}{2}} \) . Als ich diesen Ausdruck in Mathematika eingegeben habe kam deine Lösung raus für den Fall, dass b>0 sei. Danke schön nochmal für die Mühe.
─ timpy1995 28.10.2019 um 16:12
Da dieser Ausdruck im Nenner steht, können wir den Kehrwert bilden und in den Zähler schreiben. Damit erhälst du mein Ergebnis :)
Sehr gerne :)
Grüße Christian ─ christian_strack 28.10.2019 um 16:28