Hallo,
$$ x' - x\cdot \tan(t) + 2 = 0 $$
Wir nutzen deinen Hinweis, das bedeutet wir substituieren
$$ x(t) := z(t) - 2 \cdot \tan(t) $$
Dafür müssen wir aber auch \( x'(t) \) substituieren.
$$ x'(t) = z'(t) - \frac 2 {\cos^2(t)} $$
Setzen wir beides ein, erhalten wir:
$$ z'(t) - z(t) \cdot \tan(t) - \frac 2 {\cos^2(t)} + 2 \cdot \tan^2(t) +2 = 0 $$
Betrachten wir den Term:
$$- \frac 2 {\cos^2(t)} + 2 \cdot \tan^2(t) +2 $$
um formen diesen etwas um:
$$ \begin{array}{cl} & - \frac 2 {\cos^2(t)} + 2 \cdot \tan^2(t) +2 \\ = & - \frac 2 {\cos^2(t)} + 2 \cdot \frac {\sin^2(t)} {\cos^2(t)} +2 \\ = & 2( \frac {-1+sin^2(t)} {\cos^2(t)} +1 ) \\ = & 2( - \frac {\cos^2(t)} {\cos^2(t)} + 1 ) \\ = & 2 ( -1 + 1) \\ = & 0 \end{array} $$
Der Term ist also gleich Null. Also müssen wir nur noch die folgende homogene DGL lösen:
$$ z'(t) - z(t) \cdot \tan(t) = 0 $$
Grüße Christian
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