Komplexe Zahlen, Menge Skizzieren anhand eines Betrages

Aufrufe: 1490     Aktiv: 28.10.2019 um 22:16
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Hallo erst ein Mal,

wir haben ein Problem mit dieser Aufgabe, wir sind schon soweit das wir wissen, dass es sich um einen Einheitskreis handlen muss mit dem Radius r< 3.

Wir fragen uns, wie man den Ursprung dieses Kreises auf der komplexen Ebene bestimmt?

Wir haben schon den Betrag der 2 komplexen Zahlen zusammengefasst und der sieht wie folgt aus:

( 4x^2 -16x +4y^2 +4y +17)^0.5 , statt der Wurzel habe ich hier mal die Potenz der Wurzel hingeschrieben, da ich nicht weiß, wie man hier die Wurzel eintippt.

Es wäre sehr nett und hilfreich, wenn uns einer mit der Sache weiterhelfen könnte.

Viele Grüße

Aziz

Die Aufgabe

Skizzieren Sie die Menge

{z ist Element der komplexen Zahlen: |2z+i-4|<3} Teilmenge der komplexen Zahlen

 

  • Benutzen Sie die Interpretation des Betrages als Abstand
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Student, Punkte: 10

 
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Hallo,

ich würde die Voraussetzung umschreiben zu

$$ \begin{array}{ccc} \vert 2z+i-4 \vert & < & 3 \\ \vert 2(z-2+i \frac 1 2) \vert & < & 3 \\ \vert z-(2-i \frac 1 2) \vert & < & \frac 3 2 \end{array} $$

Dieser Betrag sagt nun aus, das alle Zahlen die diese Ungleichung erfüllen einen kleineren Abstand als \( \frac 3 2 \) zu der komplexen Zahl \( 2- i \frac 1 2 \) haben.

Ist dir klar wieso?

Grüße Christian

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Ne verstehe nicht wieso du die 2 da ausgeklammert hast, da die 2 ja nur an die komplexe Zahl z gebunden ist   ─   aziz 28.10.2019 um 20:58
Ganz allgemein beschreibt
$$ \vert x-y \vert $$
den Abstand zwischen zwei Zahlen \( x \) und \( y \).
Nun wollen wir eine Form haben die alle komplexen Zahlen beschreibt, die maximal einen bestimmte Abstand zu einem gewissen Mittelpunkt haben. Nennen wir den Abstad \( r \) und den Mittelpunkt \( M \), dann würde die Ungleichung
$$ \vert M - z \vert = \vert z - M \vert < r $$
genau diesen Sachverhalt beschreiben. Deshalb habe ich auch die 2 ausgeklammert, damit wir nur das \( z \) dort stehen haben, wenn wir
$$ \vert 2z - M \vert < a $$
hätten, würde diese Ungleichung einen Abstand vom doppelten aller komplexen Zahlen zum Mittelpunkt beschreiben und dieser wäre natürlich größer.

Ich hoffe es ist jetzt verständlicher.

Grüße Christian   ─   christian_strack 28.10.2019 um 21:37
Danke dir für deine Hilfe, wünsche dir noch einen guten Abend.
Gruß
Aziz
   ─   aziz 28.10.2019 um 22:09
Sehr gerne. Wünsche ich dir auch :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 28.10.2019 um 22:16

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