Hallo,
Wenden wir die Formel von Cauchy Hadamard an
$$ r = \frac 1 {\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}} $$
Wir bestimmen zuerst den Wurzelausdruck
$$ \sqrt[n]{\vert \frac {(-1)^{n+1}} n \vert} \\ = \frac {1} {\sqrt[n]{\vert n \vert}} $$
Davon ziehen wir jetzt den Grenzwert
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 {\sqrt[n]{\vert n \vert}} = 1 $$
Und somit ist der Radius
$$ r = \frac 1 {\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}} = 1 $$
Die Reihe konvergiert nun für alle \( (x_0-r , x_0 + r) \). Dabei ist \( x_0 \) der Entwicklungspunkt. Dieser ist bei uns Null.
Also konvergieren auf jeden Fall alle \( x \in ( -1 , 1 ) \). Die Punkte auf dem Rand des Intervalls muss man noch einzelnd überprüfen.
Für \( x = 1 \), gilt
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac {1^n} {n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {n} = \ln(2) $$
Dies ist die alternierende harmonische Reihe und konvergiert gegen \( \ln(2) \).
Für \( x= -1 \), gilt
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac {(-1)^n} n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {-1} n = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 n $$
Das ist die negative harmonische Reihe und diese divergiert, also gilt für den Konvergenzradius
$$ x \in (-1,1] $$
Grüße Christian
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