Wie muss man dies begründen? (Geometrie, Axiomatik)

Aufrufe: 972     Aktiv: 31.10.2019 um 13:24
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Hallo Community,

ich bin vor kurzem durch eine Klausur gefallen und bei der Aufgabe hier habe ich nur einen Punkt bekommen (von 12). Vielleicht könnte mir jemand dabei helfen?

in a) gilt es zu zeigen, ob das Parallelenaxiom gilt

in b) gilt es zu zeigen, ob das Anonrdnungaxiom 4 (Satz von Pasch) gilt.

Der Satz von Pasch besagt: wir haben ein Dreieck(ABC) und eine gerade g. Wenn g eine Seite des Dreiecks schneidet, dann schneidet g auch noch eine zweite.
Das bedeutet nicht, dass g nicht alle drei schneiden kann. Dies geht aber nur, wenn g durch einen der Punkte A,B oder C geht.

Zuerst mal die Menge: Wir haben die Reellen Zahlen ohne die ganzen Zahlen in der Ebene. Das ist ja ziemlich anschlaulich.

zu a) ich habe geschrieben, dass es gilt. Denn zu jeder Gerade g existiert ein Punkt P, sodass eine Gerade h mit P element h existiert, mit g geschnitten h gleich leere Menge. Daraus folgt, Parallelenaxiom erfüllt. Leider war diese Begründung unzureichend und ich habe nur einen Punkt für die richtige Aussage des Axioms bekommen. Die anderen 5 waren weg.

zu b) hier hatte ich mich vertan und geschrieben das es gilt. Es stimmt natürlich nicht. Wer kann mir dabei helfen?

help :/

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Hallo,

ich habe leider nicht viel Erfahrung mit der euklidischen Geometrie, aber meine Gedanken dazu sind folgende:

Zuerst zur b)

Ich denke der Knackpunkt ist hier, das unser Raum "Löcher" hat. Wenn ein Schnittpunkt ein Element aus \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) ist, existiert dieser nicht in unserem neuen Raum und somit schneidet die Gerade dann auch nicht zwangsläufig zwei Geraden eines Dreiecks.

Nehmen wir erstmal den euklidischen Raum. Dort gilt der Satz von Pasch. Dann nehmen wir eine Gerade, die nur eine Seite in einem Punkt \( p_1 = (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) schneidet (die andere in einem Punkt \( p_2 \) aus \( \mathcal{E} \)).

Nun gehen wir über in unseren Raum \( \mathcal{E} \). Dort nehmen wir die gleiche Gerade, denn alle Geraden in \( \mathcal{E} \) sind Geraden aus \( \mathbb{E}^2 \) geschnitten mit \( \mathcal{E} \). 
Diese Gerade schneidet immer unser Dreieck im Punkt \( p_2 \), aber nicht mehr im Punkt \( p_1 \), da dieser "herausgeschnitten" wurde. 

Somit schneidet diese Gerade ein Dreieck nur an einer Seite und der Satz gilt nicht.

Zur a) Hier bin ich mir etwas unsicher bei der Gestaltung des Beweises. Aber ich würde hier denke ich ähnlich wie bei b) vorgehen (deshalb habe ich den anderen auch vorgezogen).

Wir befinden uns zuerst wieder in \(\mathbb{E}^2 \). Dort ist das Parallelaxion gegeben. Deshalb konstruieren wir hier zu jeder Geraden eine Parallele. Danach wählen wir einen Punkt \( p \) der auf der Parallelen liegt, jedoch später kein Loch wird, also \( p \notin \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \). 

Wenn wir nun diese Gerade und diesen Punkt in unseren Raum \( \mathcal{E} \) bringen, bleibt unser Punkt erhalten und unsere Parallele bildet eine neue parallele in \( \mathcal{E} \) durch den Punkt \( p \).

Was meinst du zu diesen Beweisideen?

Grüße Christian

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zu b) ich verstehe, wieso du b) vorgezogen hast. das sieht doch verständlich aus. wir nehmen ein Dreieck in der eukl. Ebene welches definitiv auch ganze Zahlen hat, zb A=(0,0), B=(4,0) und C(2,4). dann existiert in der eukl. Ebene ein Dreieck, in dem (A4) gilt. aber in unserem Fall nicht, da jede Gerade, welche durch die ganzen Zahlen verlaufen würde, nicht schneidet, da der Punkt nicht existiert. ich weiß jetzt warum ich das falsch gemacht habe. ich dachte, man kann so ein Dreieck nicht wählen. Aber man muss das für alle möglichen Punkte in betracht ziehen, daher für das Angehen an die Aufgabe -> konstruiere ein Dreieck in R und schaue ob es auch in der runter gebrochenen Ebene gilt. gute idee merke ich mir! danke dafür. sowas sollte generell klappen, da die Beweisidee dahinter vollständig ist (meine Meinung).

zu a) auch hier erscheint mir das logisch. und hier können wir ja "nur" einen Punkt wählen, der später kein Loch wird, da es sonst keine Aufgabe gäbe. Sei p ein Punkt aus der Punktmenge (also schon ohne Z), daher kann der Punkt gar nicht "verschwinden". Sei dann zB eine Gerade AB (mit den Punkten von vorhin). dann existiert eine Gerade AB (aber ohne die Punkte A und B) aber die gerade existiert. Dann gibt es immer einen punkt P welcher auf der Geraden g liegt, sodass g parallel zu AB.
so hatte ich das ja nicht argumentiert in der klausur. ich habe ja mehr oder weniger nur das Axiom wiederholt, aber ohne handfesten Beweis. Es ist immer gut ein exaktes Beispiel zu nehmen, das ist hier ja möglich.

Ein Prof. meinte mal zu mir: wenn Sie das mit einem exakten Beispiel widerlegen können, dann haben sie es doch schon bewiesen (Algebra: Zahlentheorie). So werde ich das auch handhaben. danke dir! mir reicht das definitiv zum verständnis und zum ran gehen an die aufgabe. ob der beweis mathematisch so korrekt ist, erfährst du am Mittwoch von mir, da ich in die mündliche muss :/ und ihn das definitiv fragen werde.

danke   ─   labis.theodoros 31.10.2019 um 13:18
Ja genau. Freut mich sehr das ich helfen konnte
ich wünsche dir viel Erfolg in der Mündlichen. :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 31.10.2019 um 13:24

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