Beweis Basis für Vektorraum von Polynomen (lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem)

Aufrufe: 4286     Aktiv: 02.11.2019 um 15:30
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Hallo,

ich habe die folgende Aufgabe:

Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad <= 3 über R. Seien p1 = T2 + 1, p2 =
T3 + T + 1, p3 = T3 + T2 + T und p4 = T + 1.
1. Beweisen Sie, dass p1, p2, p3, p4 eine Basis von V ist.
2. Sei q = T2 + T. Welche pi, 1 <= i <= 4 können Sie durch q ersetzen, sodass die
Polynome weiterhin eine Basis von V bilden?

Ich bin für den Beweis zu 1 nun her gegangen und habe erst einmal die lineare Unabhängigkeit gezeigt. Details siehe unten.
Doch nach der linearen Unabhängigkiet muss ich auch noch zeigen, dass das ein Erzeugendensystem des Vektorraums ist.

Wie mache ich das?
Irgndwie hänge ich an diesem Schritt.

Bei 2 würde ich dann q in die Matrix von unten einsetzen und schauen, wann ich von vier linear unabhängigen Vektoren (kann ich hier auch Polynome schreiben) auf drei runtergehe. Denn dann wäre das keine Basis mehr. Oder?

Besten Dank für jeden Tipp.
VG, Adrian

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Hallo, ich scheitere schon beim Beweis der linearen Unabhängigkeit. Ich kann auch Deiner Lösung nicht folgen. Ich halte den ganzen Basen-Kram für ziemlich simpel, aber die Zeigerei ist mir zu hoch. Mein Beweis wäre: Sieh hin, es ist offensichtlich...   ─   stehgold 01.11.2019 um 11:36
Ich habe mir dazu die Aufzeichnung der Studientage angeschaut und bin dann analog Schritt für Schritt vorgegangen.
Da gibt es ein Beispiel mit Polynomen.
Hier der Link dazu und die Zeitmarke:
https://moodle-wrm.fernuni-hagen.de/mod/book/view.php?id=34581&chapterid=2732
03:59   ─   adrian142 01.11.2019 um 12:34
Ah, darin hatte ich noch gar nicht gewühlt. Danke!   ─   stehgold 01.11.2019 um 12:39
Die 3.2.2 habe ich durch stumpfes Ausprobieren gemacht. \( p_2,p_3,p_4 \) kann man mit \( q \) ersetzen. Ich habe die Koeffizienten in ein Matrix geschrieben und in Treppennormalform gebracht (bringen lassen, Octave). Da kommt außer für \( p_1 \) immer die \( I_4 \) heraus.   ─   stehgold 01.11.2019 um 12:57
Hast Du einen Ansatz für 3.3, insb. 3.3.2?
Ggf. könnten wir uns auch via E-Mail vernetzen? -->[email protected]   ─   adrian142 02.11.2019 um 14:37
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Hallo,

dein Beweis zu linearen unabhängigkeit ist korrekt. 

Dies ist nach Definition schon ein Erzeugendensystem. Du musst nun noch zeigen, dass dies ein kleinstes Erzeugendensystem ist, dass den Vektorraum der Polynom vom Grad \(\leq 3 \) erzeugt.

In deinem Beweis zur linearen Unabhängigkeit, hast du im Prinzip gezeigt, das du damit Polynome vom Grad \( \leq 3 \) erzeugst. Weißt du wo?

Bei der zweiten Aufgabe würde ich auch so vorgehen. Einfach \(q \) nacheinander für die \(p_i \) einsetzen und auf lineare Unabhängigkeit prüfen.

Grüße Christian

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