Hallo,

warum ergänzt du den Kern noch? Dein Kern ist 1-dimensional und es gilt

$$ ker(f) = span(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Damit bist du fertig.

Nun zum Bild. Im Bild sind alle Vektoren, die tatsächlich von der Abbildung angenommen werden. 

Schreiben wir uns die Funktion mal als Vektor

$$ 0T^2 + (a_2 + 2a_1)T + (a_1 + a_0)T^0 = \begin{pmatrix} 0 \\ a_2 + 2a_1 \\ a_1 + a_0 \end{pmatrix} \\ = a_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + a_0 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Diese drei Vektoren erzeugen nun deinen Bildraum. Nun wollen wir daraus eine Basis machen. Man sieht sofort, das einer von den anderen beiden erzeugt werden kann. Also erhalten wir als Bild

$$ im(f) = span( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Du kannst dir merken, dass das die Summe der Dimensionen vom Kern und Bild immer wieder gleich der Dimension des Vektorraums sein muss

$$ 1+2 = 3 \checkmark $$

Grüße Christian