Hallo,

eine Folge ist im Prinzip eine Auflistung. Das wirkliche auflisten aller Elemente einer Folge, können wir uns sparen, wenn sich eine Vorschrift findet. 

Nun ist es in erster Linie egal ob diese Vorschrift eine Summe, ein Produkt oder ein Bruch ist. Wir setzen einfach in diese Vorschrift einen Wert meistens für \( n \) ein und erhalten so das \(n\)-te Element der Folge. 

Als einfacheres Beispiel gucken wir uns die Folge

$$ a_n = \sum_{k=1}^n k $$

an. Berechnen wir die ersten Elemente \( a_1\), \(a_2\) und \( a_3 \).

$$ a_1 = \sum_{k=1}^1 k = 1 $$

$$ a_2 = \sum_{k=1}^2 k = 1 + 2 = 3 $$

$$ a_3 = \sum_{k=1}^3 k = 1 + 2 + 3 = 6 $$

Wir könnten also auch schreiben 

$$ a_n = \{ 1,3,6 , \ldots \} $$

Nun wird eine Reihe definiert über die Partialsumme einer Folge, das bedeutet

$$ \sum_{n=1}^{m} a_n $$

Jetzt kommt es wieder darauf an, wie diese Folge aussieht. Nehmen wir die gleiche Folge wie oben, erhalten wir

$$ \sum_{n=1}^m \sum_{k=1}^n k= (1) + (1+2) + (1+2+3) + \ldots = 1+3+6+ \ldots $$

Wir summieren also die Elemente der Folge auf. 

Die Reihen Konvergenzkriterien, sind Folgerungen daraus, was mit den letzten Summanden passiert. Daraus wird dann ein Rückschluss auf die Konvergenz der Reihe gezogen.
Wenn nun eine Folge konvergiert, liegen alle Folgeglieder ab einem bestimmten Glied in direkter Umgebung des Grenzwertes, sind also fast der Grenzwert. Dieser Grenzwert kann aber beliebig sein. Wenn jetzt eine Folge beispielsweise gegen \( 1 \) konvergiert und wir bei einer Summe die Folgeglieder aufsummieren, dann addieren wir irgendwann immer eine \( 1 \) dazu. Die Folge konvergiert zwar, aber die Reihe nicht. 
Deshalb benötigen wir andere Methoden zu Bestimmung der Konvergenz.

Ich hoffe ich konnte dir ein besseres Gefühl dafür geben, ansonsten melde dich gerne nochmal. 

Grüße Christian