Hallo,

die Gleichheit gilt im allgemeinen nicht. Sie gilt nur, wenn \( w \) ein Vielfaches von \( z \) ist. 

Stell dir das ganze mal als Vektoren vor. Wenn wir zwei Vektoren addieren, setzen wir den einen Vektor an den anderen. Wir erhalten nun einen neuen Vektor, der vom Ursprung des ersten Vektors, zum Ende des zweiten Vektors geht. Wenn nun beide Vektoren linear abhängig sind, verläuft der neue Vektor über beide hinweg und wir haben die Gleichheit. 
Wenn diese nicht linear abhängig sind, dann muss der neue Vektor nicht genau so lang sein. 

Nehmen wir beispielsweise \( z = i \) und \( w = 1 \), dann erhalten wir

$$ \vert z + w \vert = \vert z \vert + \vert w \vert \\ \vert 1+i \vert = \vert 1 \vert + \vert i \vert \\ \sqrt{2} = 1 + 1 \\ \sqrt{2} \neq 2 $$

Grüße Christian