(Twitter)
Starte mit der Bestimmung der homogenen Gleichung (mit \(f(x) = y\)):
\(y''-2y = 0\)
Hier kommst du auf die Lösung:
\(y_h = c\cdot e^{\sqrt2 x} + d\cdot e^{-\sqrt2 x}\)
Nun können wir uns um das Restglied kümmern (partikuläre Lösung). Dazu wählen wir den rechte Seite Ansatz, der für ein Polynom zweiten Grades so aussieht:
\(y = ax^2 + bx + c\)
\(y' = 2ax + b\)
\(y''= 2a\)
Das setzen wir in die Ursprungsgleichung ein:
\(2a - 2(ax^2 + bx + c) = x^2 + x\)
Mit Koeffizientenvergleich erhalten wir:
\(y_p = -\frac12x^2 - \frac12x - \frac12\)
Folglich:
\(y = y_h + y_p = c\cdot e^{\sqrt2 x} + d\cdot e^{-\sqrt2 x} -\frac12x^2 - \frac12x - \frac12\)
Die Anfangsbedingungen einsetzen und c und d bestimmen verbleibt noch. Dazu einmal ableiten, dann beide Anfangsbedinungen einsetzen und das LGS lösen.
Punkte: 8.88K
Nimm den Ansatz \(y = e^{\lambda x} \) womit \(y'' = \lambda ^2\cdot e^{\lambda x}\).
Das setzt du oben ein und kannst direkt durch die e-Funktion teilen, da diese bei der Nullstellenbetrachtung keine Rolle spielt:
\(\lambda ^2 - 2 = 0\)
─ orthando 17.11.2019 um 15:40