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Hallo,
die Menge enthält auch nicht die \(1 \), denn
$$ M:= (1,\infty) \backslash \{2\} := \{x \in \mathbb{R} | x > 1 \} \backslash \{2\} $$
Die Runde Klammer steht für offene Menge. Das bedeutet, dass die Grenzen nicht in der Menge enthalten sind.
Zur Bestimmung der Lösungsmenge, lösen wir einfach die Ungleichung
Wir müssen dafür verschiedene Fälle betrachten, damit wir die Betragsstriche "umgehen" können
- \( x-2 > 0 \land x-1 \geq 0 \\ \Rightarrow x > 2 \land x \geq 1 \\ \Rightarrow x > 2\)
- \( x-2 < 0 \land x-1 \geq 0 \\ \Rightarrow x < 2 \land x \geq 1 \\ \Rightarrow 1 \leq x < 2\)
- \( x-2 > 0 \land x-1 < 0 \\ \Rightarrow x > 2 \land x <1 \\ \Rightarrow x \in \emptyset \)
- \( x-2 < 0 \land x-1 < 0 \\ \Rightarrow x < 2 \land x < 1 \\ \Rightarrow x < 1 \)
Ich zeige dir einmal den zweiten Fall, damit du die Auswirkungen der Fallunterscheidung verstehst.
$$ x-2 < 0 \land x-1 \geq 0 $$
Wir wollen die Betragsstriche loswerden. Da \( x-2 \) kleiner als Null (also negativ) ist, setzen wir einfach ein Minus davor, um den selben Effekt wie bei den Betragsstrichen zu erzeugen.
Da \( x-1 \) ist größer gleich Null ist, können wir einfach die Betragsstriche weglassen und erhalten die Ungleichung
$$ \begin{array}{ccccl} & \frac 1 {-(x-2)} & > & \frac 1 {1+(x-1)} \\ \Rightarrow & \frac 1 {-x+2} & > & \frac 1 x & \vert \cdot x \\ \Rightarrow & \frac x {-x+2} & > & 1 & \vert \cdot (-x+2) \\ \Rightarrow & x & > & -x+2 & \vert + x \\ \Rightarrow & 2x & > & 2 & \vert \div 2 \\ \Rightarrow & x & > & 1 \end{array} $$
Wir erhalten also als Lösung \( x > 1 \). Mit unser Einschränkung erhalten wir somit das Lösungsintervall
$$ 1 \leq x < 2 \land x > 1 \ \Rightarrow 1 < x < 2 $$
Das machst du nun mit allen Fällen und erhälst so deine Lösung als Vereinigung aller Teillösungsintervalle.
Versuch dich mal ich gucke gerne nochmal drüber.
Grüße Christian
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Bei dem was du hochgeladen hast, hast du einen Vorzeichenfehler gemacht
$$ \frac {-x+2} {-x+2} = 1 $$
Allerdings ist
$$ 1 > 1 $$
eine falsche Aussage, deshalb erhälst du hier auch die leere Menge als Lösungsintervall.
Also nur noch den ersten Fall.
Hier erhälst du am Ende
$$ 0 > -1 $$
Das ist eine wahre Aussage und gibt uns keine Einschränkung. Also gilt hier das anfängliche Intervall
$$ x > 2 $$
Damit erhalten wir am Ende aus den Fällen
$$ \begin{array}{cccc} 1. & x > 2 \\ 2. & 1 < x < 2 \\ 3. & \emptyset \\ 4. & \emptyset \end{array} $$
Der Schnitt dieser Lösungsintervalle ergibt dann \( M \).
Grüße Christian ─ christian_strack 20.11.2019 um 11:52
Bezogen auf die Aufgabenstellung ist die dort aufgeführte Menge dann bestätigt?
Alles >1 bis unendlich mit Ausnahme der 2?
Das würde heißen, dass ich die Lösungsintervalle "addieren" kann?
Bei "Schnitt" dachte ich im ersten Moment an Schnittmenge, was dann ja für die Lösung eine leere Menge gäbe. ─ adrian142 20.11.2019 um 12:11
$$ x > 2 \Rightarrow x \in (2,\infty) \\ 1 < x < 2 \Rightarrow x \in (1,2) $$
Wenn wir nun alle Intervalle vereinigen, erhalten wir
$$ (2,\infty) \cup (1,2) \cup \emptyset \cup \emptyset = (1,\infty) \backslash \{2\} = M $$
Das freut mich sehr zu hören :) ─ christian_strack 20.11.2019 um 12:42
ich kann die Rechnung nachvollziehen.
Und ich kann auch die Fallunterscheidungen nachvollziehen.
Aber ab dem Punkt "Einschränkung und Lösungsintervall" bin ich irgendwie abgekoppelt.
Ich habe das mal versucht, analog für III auszurechnen und komme auf keine sinnvolle Lösung.
Oder muss ich da wegen der leeren Menge gar nicht rechnen?
Siehe auch meine Ergänzung für den vierten Fall oben in der Aufgabe,
─ adrian142 20.11.2019 um 09:11