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Hallo,
ein Skalarprodukt ist in erster Linie eine Verknüpfung, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht und bestimmten Axiomen genügt. Dieses Skalarprodukt kann aber sehr verschieden aussehen.
Über Skalarprodukte lässt sich eine Norm induzieren, aus der man dann einen Längenbegriff ableiten kann.
Also zusammengefasst, ist das erstmal eine Funktion, die uns irgendwie die Möglichkeit gibt einen Bezug zwischen Vektoren und Längen (bzw Flächen) herzustellen.
Nun ist der Raum der Polynome ein Vektorraum. Allerdings kann man sich diesen Vektorraum nicht mehr mit Pfeilen veranschaulichen. Wir brauchen deshalb auch einen ganz anderen Bezug zu Längen. Für Polynome hat sich das obige Skalarproukt bewährt.
Jetzt rechnest du damit nicht anders als mit anderen Integralen
$$ \left< p_1 | p_2 \right> = \int_0^1 p_1(x) \cdot p_2(x) \mathrm{d}x $$
Dort setzt du nun deine Polynome ein
$$ \int_0^1 (x^3 + x) \cdot (x^2 - 7) \mathrm{d}x $$
Das klammerst du nun aus und erhälst eine ganzrationale Funktion. Diese kannst du dann integrieren.
Grüße Christian
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Stell es dir eher so vor. Wenn wir uns Vektoren als Bewegungen (Pfeile) im Raum unserer Anschauung vorstellen, dann können wir bestimmte Probleme der Realität mittels der Methoden der linearen Algebra lösen. Beispielsweise können wir sagen wie lang bestimmte Strecken sind.
Wenn wir mathematisch nun eine Länge definieren wollen, machen wir das über Axiome. Wenn eine Abbildung bestimmten Axiomen genügt, können wir dies als Längenbegriff auffassen.
Nun macht aber nicht mehr in jedem Kontext der Begriff Länge wirklich Sinn. Länge ist etwas das wir in unserer Realität finden. Der Vektorraum der Funktionen, beschreibt nun nicht mehr Dinge unserer Anschauung, also was soll genau eine Länge einer Funktion sein?
Doch wieso fassen wir nun den Funktionenraum als Vektorraum auf? Man hat gesehen, das der Funktionenraum den Vektorraumaxiomem genügt. Das bedeutet nicht, das Funktionen für Bewegungen stehen müssen.
Da der Funktionenraum nun allerdings ein Vektorraum ist (sogar ein Vektorraum mit Skalarprodukt), können wir bestimmte Eigenschaften, die wir uns vielleicht anhand der Realität ableiten konnten, nutzen um Probleme mit Funktionen zu lösen.
Das Skalarprodukt für Funktionen hat im allgemeinen die Form
$$ \left< f(x) | g(x) \right> = \int_a^b \alpha(x) g(x) f(x) \mathrm{d}x $$
Meistens wird \( \alpha(x) = 1 \) gesetzt. Das Integral erfüllt bereits allgemein die ersten beiden Axiome des Skalarproduktes. Man muss nun Grenzen, \(\alpha(x) \) so anpassen, das für die gegebenen Funktionen die positive Definitheit erfüllt ist und schon hat mein ein Skalarprodukt.
Das ganze wird genutzt um auch für Funktionen sinnvolle Basen konstruieren zu können. Zum Beispiel nutzte Legrendre das Skalarprodukt
$$ \left< f(x) | g(x) \right> = \int_{-1}^1 f(x) g(x) \mathrm{d}x $$
um für die Polynominterpolation eine orthonormale Basis zu basteln, aus denen er dann einen Algorithmus basteln konnte zur Splininterpolation.
Also um es zusammenzufassen: Es ist in der Mathematik leider nicht immer möglich sich alles genau vorzustellen. Allerdings kann man manchmal ein Analogon finden, aus dem man sich bestimmte Eigenschaften ableiten kann. Diese können wir dann nutzen, um mit Objekten zu arbeiten, die wir uns eben nicht mehr wirklich vorstellen können.
Ich hoffe ich konnte es dir etwas veranschaulichen.
Grüße Christian
─ christian_strack 22.11.2019 um 12:51
$$ \Vert p(x) \Vert = \sqrt{\left< p(x) | p(x) \right> } $$
Also berechne das Skalarprodukt mit sich. Du musst den Wert \( 1 \) erhalten.
Grüße Christian ─ christian_strack 23.11.2019 um 13:51