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Hallo,
es gilt doch:
$$\sum_{k=0}^{n+1}5^k=\sum_{k=0}^{n}5^k+5^{n+1}=\frac{5^{n+1}-1}{4}+5^{n+1}=\frac{5^{n+1}-1}{4}+\frac{4\cdot5^{n+1}}{4},$$
wobei im ersten Schritt wie auch bei dir \(5^{n+1}\) abgespalten wurde. Dann wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt, was bei dir irgendwie komisch aussieht... Danach habe ich den hinteren Bruch, wie du auch, erweitert und wenn man jetzt alles auf einen Bruch schreibt, folgt:
$$\sum_{k=0}^{n+1}5^k=\frac{5^{n+1}-1+4\cdot5^{n+1}}{4}=\frac{5\cdot5^{n+1}-1}{4}=\frac{5^{n+2}-1}{4}$$
und du bist fertig! :)
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geantwortet
endlich verständlich
Student, Punkte: 2.6K
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Danke für die Antwort, aber ich verstehe nicht wo der Faktor x4 verschwunden ist?
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3inst3in
25.11.2019 um 19:46
Ich könnte jetzt sagen ein Apfel plus vier Äpfel sind fünf Äpfel, aber dann müsstest du statt \(5^{n+1}\) Äpfel nehmen :D
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endlich verständlich
25.11.2019 um 20:11
Die Summe muss bei \( k=0 \) beginnen.
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anonym179aa
25.11.2019 um 23:41
Ja das stimmt, aber das ändert ja nix. Ich korrigier es mal. Vielen Dank! :)
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endlich verständlich
26.11.2019 um 10:02
Bei k=0 würde aber die Gültigkeit der Beziehung nicht stimmen oder?
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3inst3in
26.11.2019 um 16:31
Für k=0 gilt die Beziehung wie ganz oben angegeben. Wäre der Startindex k=1, dann gilt die Beziehung nicht mehr.
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anonym179aa
26.11.2019 um 21:06
Jo, ich hatte mich beim Startindex einfach vertan. Du musst bei \(k=0\) anfangen, Dann gilt für \(n=0\) ja gerade das, was du beim Induktionsanfang gezeigt hast! :)
Bei \(k=1\) anzufangen ist falsch, dann hast du bei der Summe gerade die \(1\) von der \(5^0\) zu wenig! :) ─ endlich verständlich 26.11.2019 um 23:27
Bei \(k=1\) anzufangen ist falsch, dann hast du bei der Summe gerade die \(1\) von der \(5^0\) zu wenig! :) ─ endlich verständlich 26.11.2019 um 23:27