Hallo,

ich steh hier bei folgender Aufgabe grad ein bisschen auf dem Schlauch. Vielleicht kann mir hier ja jemand weiter helfen oder aufzeigen, wo ich hier einen Denkfehler hatte.

Folgende Formel soll mit vollständiger Induktion bewiesen werden:

\( \frac {1} {1*2} \) + \( \frac {1} {2*3} \) + \( \frac {1} {3*4} \) + ... + \( \frac {1} {n* (n+1)} \) = \( \frac {n} {n+1} \) 

Meine bisherigen Schritte:

Den Induktionsanfang mit n = 1 gesetzt und überprüft.
Dann den Induktionsschritt von n --> n + 1
Die Induktionsvoraussetzung siehe oben.
Und als Induktionsannahme dann:

\( \frac {1} {1*2} \) + \( \frac {1} {2*3} \) + \( \frac {1} {3*4} \) + ... + \( \frac {1} {n* (n+1)} \) + \( \frac {1} {(n + 1)* (n+2)} \) = \( \frac {n+1} {n+2} \) 

Und als Beweis nun:

hier auf der linken Seite soll bis n+1 oben stehen --> \( \sum_{k=0}^n \) = \( \sum_{k=0}^n \) \( \frac {1} {k* (k+1)} \) + \( \frac {1} {(n + 1)* (n + 2)} \)

= \( \frac {n} {n + 1} \) + \( \frac {1} {(n + 1)* (n + 2)} \) = \( \frac {n*(n+2)} {(n + 1)* (n + 2)} \) + \( \frac {1} {(n + 1)* (n + 2)} \)

= \( \frac {n*(n+2)+1} {(n + 1)* (n + 2)} \) = \( \frac {n² + 2n + 1} {n² + 3n + 2} \)

Irgendwie komm ich hier aber nicht mehr weiter. Ich komm hier nicht auf die Induktionsannahme zurück. Über Tipps wär ich sehr dankbar.