Hallo,

die Determinante kannst du nicht nutzen, da hast du recht. Allerdings kannst du den Gauß Algorithmus auch auf Gleichungssysteme mit einer nicht quadratische Koeffizientenmatrix anwenden. 

Du kannst dir aber auch erstmal ein Gleichungssystem basteln, indem du aus jeder Koordinate eine Gleichung aufstellst.

Nehmen wir mal als Beispiel die 2 Vektoren

$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Diese Vektoren sind linear unabhängig, wenn 

$$ \lambda_1 \cdot \vec{a} + \lambda_2 \cdot \vec{b} = 0 $$

nur für \( \lambda_1,\lambda_2 = 0 \) erfüllt ist.

Daraus kannst du dir nun entweder ein LGS basteln durch

$$ \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_2  \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 $$

erhalten wir

$$ \begin{array}{cccc} I: & \lambda_1 + 2 \lambda_2 & = & 0 \\ II: & 2\lambda_1 + 3\lambda_2 & = & 0 \\ III: & 3\lambda_1 + 4\lambda_2 & = & 0 \end{array} $$

Das kann man nun durch Verfahren wie das Subtraktionsverfahren (oder andere) lösen oder wir nutzen den Gauß Algorithmus um das LGS zu lösen

$$ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 &  4 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

Könntest du durch beide Verfahren das LGS lösen oder sollen wir das auch nochmal zusammen durch gehen?

Grüße Christian