Eine Polynomdivision ist ein guter erster Ansatz. Du brauchst aber nur eine Polynomdivision zu machen. Danach hast du doch den Grad 2 und kannst direkt mit der pq-Formel kommen.

\((x^3-6x^2+12x-8):(x-2) = x^2-4x+4\)

Hier hast du entdeckt, dass \(x_1 = 2\) eine Nullstelle ist und die Polynomdivision durchgeführt.

Nun kannst du \(x^2-4x+4 = 0\) untersuchen und stellst über die binomische Formel oder der pq-Formel fest, dass es weitere Nullstelle \(x_{2,3} = 2\) gibt.

Im Zähler hast du also die Dreifache Nullstelle \(x = 2\).

Wenn man sich nun noch den Zähler anschaut, sehen wir direkt die dritte binomische Formel und die beiden Nennernullstellen \(x_{4} = -2\) und \(x_5 = 2\).

Damit kannst du nun folgendes sagen: Es gibt eine Polstelle bei \(x = -2\). Man darf hier nämlich nicht durch 0 teilen und es gibt im Zähler keine Nullstelle, die das aushebelt. Für \(x = 2\) hingegen haben wir keine Polstelle, da sich das mit dem Zähler kürzt. Man spricht von einer "hebbaren Definitionslücke".  Eine "doppelte Nullstelle" wie in der Lösung beschrieben, trifft aber nicht zu. Es ist weiterhin verboten \(x = 2\) einzusetzen.

Um nun zu zeichnen, bietet es sich noch an den y-Achsenabschnitt zu bestimmen (f(0) bestimmen). Weiterhin ist das Verhalten im Unendlichen interessant. Da hilft dann der Tipp der Aufgabenstellung a) das als ganzrationale und gebrochenrationale Funktion aufzusplitten. Mit Polynomdivision von \((x^2-4x+4):(x+2) = x-6 + \frac{16}{x+2}\). Damit haben wir eine Asymptote die \(y = x-6\) entspricht. Das  hilft wie gesagt beim Zeichnen. Die blaue Linie entspricht der schrägen Asymptote. Die grüne entspricht der Polstelle. Bei \(x = 2\) würde ich ein eckiges Kästchen machen (hebbare Definitionslücke).

Hoffe das hilft weiter.

Wollte gerade die identische Frage zur identischen Aufgabe erstellen... Bin dann auch mal in dem Kapitel angekommen :D...