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Hallo,
$$ \int -2e^{-\frac t 2} \mathrm{d}t $$
wir ziehen zuerst den Vorfaktor vor das Integral
$$ -2 \int e^{-\frac t 2} \mathrm{d}t $$
Nun überlegen wir uns, was passieren würde wenn wir \( e^{- \frac t 2 } \) ableiten würden.
$$ f(t) = e^{-\frac t 2 } \ \Rightarrow f'(t) = -\frac 1 2 e^{-\frac t2} $$
Diesen Prozess drehen wir nun um
$$ -2\int e^{-\frac t 2} \mathrm{d}t = -2( -2e^{-\frac t2} ) = 4 e^{-\frac t2} $$
Wir könnten das auch mittels Substitution lösen.
$$ -2 \int e^{-\frac t 2} \mathrm{d}t $$
Wir substituieren \( u = - \frac t 2 \). Daraus ergibt sich
$$ \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 \\ \Rightarrow \mathrm{d}t = -2 \cdot {\mathrm{d}u} $$
Das setzen wir nun in unser Integral ein und erhalten
$$ -2\int e^u \cdot (-2) \mathrm{d}u = 4\int e^u \mathrm{d} u = 4 e^u = 4 e^{-\frac t 2} $$
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Hey Danke wie kommst du auf die -1/2 im 2. Schritt ?
─
anonym4e376
04.12.2019 um 15:02
Meinst du bei
$$ \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 $$
oder bei der Ableitung von f(t)?
─ christian_strack 04.12.2019 um 15:09
$$ \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 $$
oder bei der Ableitung von f(t)?
─ christian_strack 04.12.2019 um 15:09
Allg. wie kommt man wenn man -t/2 ableitet wie man da und warum man da auf -0,5 kommt. Ich hab die quotientenregel benutzt um das abzuleiten komme aber nur auf -1 ich bin echt am verzweifeln
─
anonym4e376
04.12.2019 um 15:15
Die Quotientenregel ist hier zu viel des Guten ;)
$$ - \frac t 2 = - \frac 1 2 t $$
\( - \frac 1 2 \) ist also ein konstanter Vorfaktor. Das können wir nun genauso behandeln wie beispielsweise \( 3x \). Beim ableiten wir der konstante Vorfaktor hinausgezogen. Dann leiten wir nur noch \( t \) ab und erhalten dafür die Ableitung \( 1 \), also
$$ \frac {\mathrm{d}(- \frac t 2)} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 \frac {\mathrm{d}t} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 $$
Wir können das ganze aber auch einmal mit der Quotientenregel durchgehen.
$$ f(t) = - \frac t 2 = \frac {u(t)} {v(t)} $$
Somit erhalten wir \( u(t) = -t \) und \( v(t) = 2 \) (wir hätten hier das \(-\) auch vor die \( 2 \) packen können anstatt vor das \( t \)). Nun erhalten wir als einzelne Ableitungen
$$ u'(t)= -1 \\ v'(t) = 0 $$
Setzen wir das in die Quotientenregel ein, erhalten wir
$$ f'(t) = \frac {u'(t) \cdot v(t) - u(t) \cdot v'(t)} {(v(t))^2} = \frac {-1 \cdot 2 - (-t) \cdot 0} {2^2} = \frac {-2 - 0} {4} = \frac {-2} 4 = - \frac 1 2 $$
beantwortet das deine Frage? :) ─ christian_strack 04.12.2019 um 15:26
$$ - \frac t 2 = - \frac 1 2 t $$
\( - \frac 1 2 \) ist also ein konstanter Vorfaktor. Das können wir nun genauso behandeln wie beispielsweise \( 3x \). Beim ableiten wir der konstante Vorfaktor hinausgezogen. Dann leiten wir nur noch \( t \) ab und erhalten dafür die Ableitung \( 1 \), also
$$ \frac {\mathrm{d}(- \frac t 2)} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 \frac {\mathrm{d}t} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 $$
Wir können das ganze aber auch einmal mit der Quotientenregel durchgehen.
$$ f(t) = - \frac t 2 = \frac {u(t)} {v(t)} $$
Somit erhalten wir \( u(t) = -t \) und \( v(t) = 2 \) (wir hätten hier das \(-\) auch vor die \( 2 \) packen können anstatt vor das \( t \)). Nun erhalten wir als einzelne Ableitungen
$$ u'(t)= -1 \\ v'(t) = 0 $$
Setzen wir das in die Quotientenregel ein, erhalten wir
$$ f'(t) = \frac {u'(t) \cdot v(t) - u(t) \cdot v'(t)} {(v(t))^2} = \frac {-1 \cdot 2 - (-t) \cdot 0} {2^2} = \frac {-2 - 0} {4} = \frac {-2} 4 = - \frac 1 2 $$
beantwortet das deine Frage? :) ─ christian_strack 04.12.2019 um 15:26
Danke dann ist das schon mal geklärt :) aber mein Hauptproblem ist das, dass ich beim „aufleiten“ von der besagten Funktion nicht auf die 4 vor dem e komme.
Ich versteh nur Bahnhof und weiß nicht das du oder dt ist und wie das funktioniert ;( ─ anonym4e376 04.12.2019 um 15:36
Ich versteh nur Bahnhof und weiß nicht das du oder dt ist und wie das funktioniert ;( ─ anonym4e376 04.12.2019 um 15:36
Kein Problem gehen wir alles Schritt für Schritt durch :)
Lassen wir den Vorfaktor \( -2 \) einmal kurz weg, denn es ist verständlich das wir diesen vor das Integral ziehen dürfen oder? Am Ende muss dann nur noch das jeweilige Ergebnis (im folgenden) mit \(-2 \) multipliziert werden.
Gucken wir uns also das Integral
$$ \int e^{- \frac t 2 } \mathrm{d}t $$
an. Wir haben gesehen, dass wenn wir
$$ f(t) = e^{-\frac t2 } $$
ableiten, wir
$$ f'(t) = - \frac 1 2 e^{-\frac t 2} $$
erhalten. Nun ist das integrieren das Gegenstück zum differenzieren. WIr suchen also eine Funktion die abgeleitet unsere gegebene Funktion ergibt.
Bis hier hin verständlich?
Nun ändert sich in unserem Fall nur der Vorfaktor. Deshalb muss unsere Stammfunktion die Form
$$ F(t) = a \cdot e^{-\frac t 2 } $$
haben, mit irgendeinem \( a \) das wir gerade noch nicht näher benennen können. Nun leiten wir diese Funktion doch einmal ab
$$ F'(t) = a \cdot \left(- \frac 1 2 \right) e^{-\frac t2} $$
Wir dürfen den Vorfaktor ja wieder einfach übernehmen und die Ableitung von \( e^{-\frac t2} \) haben wir uns ja vorher angeguckt,
Ist bis hierhin auch noch alles klar?
Nun ist unsere gegebene Funktion ja die Ableitung der Stammfunktion \( F(t) \), also
$$ F'(t) = f(t) $$
Wir können also das gerade berechnete gleichsetzen
$$ a \cdot (- \frac 1 2) \cdot e^{-\frac t2} = e^{-\frac t2} $$
Wir teilen beiden Seiten durch \( e^{-\frac t2} \) und erhalten
$$ a \cdot (- \frac 12 ) = 1 \\ a = -2 $$
So kann man sich einige Stammfunktionen herleiten, indem man sich eben überlegt, welche Funktion abgeleitet die gegebene Funktion ergibt.
Jetzt können wir das Integral aber auch mittels Substitution lösen.
Noch als kleine Anmerkung. Mein Prof meinte damals differenzieren kann jeder lernen, aber integrieren ist eine hohe Kunst. Das liegt daran, dass die Methoden der Integration nicht mehr so eindeutig anwendbar sind und auch nicht immer funktionieren.
Dabei hilft einfach viel Übung, deshalb nicht unterkriegen lassen. :) Darum gucken wir uns jetzt noch genau die Substitution an.
Substitution bedeutet soviel wie ersetzen. Wir wollen einen Teil unserer Funktion so ersetzen, dass wir mit der "neuen" Form besser rechnen können.
Deshalb gucken wir uns nochmal genau unsere Funktion an
$$ e^{-\frac t2} $$
Das was uns abhält, das Integral einfach zu berechnen, ist der Exponent. \( e^t \) wäre kein Problem, denn wir wissen, das die Ableitung der Exponentialfunktion immer wieder die Exponentialfunktion ist. Also ersetzen (substituieren) wir den Exponenten mit \( u = - \frac t2 \).
Soweit verständlich?
Jetzt hängt aber unser Differential ebenfalls von \( t \) ab (\(\mathrm{d}t\)). Also müssen wir das Differential auch noch irgendwie verändern.
Das Differential steht für winzig kleine Änderungen in der Variable \( t \).
Nun wollen wir also wissen, wie sich \( u \) ändert, wenn \( t \) kleine Änderungen erlebt.
Kleine Änderungen sind auch die Idee hinter der Ableitung. Wie sehr ändert sich eine Funktion, wenn wir einen klitzekleinen Schritt weiter auf der Funktion gehen.
Nun haben wir ja durch die Substitution \( u = - \frac t2 \) einen Zusammenhang zwischen \( u \) und \( t \).
Also differenzieren wir \( u(t) \) nach \( t \), um zu wissen wie sich \( u(t) \) ändert, wenn sich \( t \) ändert.
$$ \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 $$
Bis hier hin klar?
Nun formen wir die Gleichung oben nur noch um, sodass wir den Zusammenhang für \( \mathrm{d}t \) einsetzen können. Wir formen die Gleichung also so um, sodass \( \mathrm{d}t\) alleine steht
$$ \begin{array}{ccccl} & \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} & = & - \frac 1 2 & \vert \cdot \mathrm{d}t \\ \Rightarrow & {\mathrm{d}u} & = & - \frac 1 2 \mathrm{d}t & \vert \cdot -2 \\ \Rightarrow & -2 \mathrm{d}u & = & \mathrm{d}t \end{array} $$
Das können wir nun in unser Integral einsetzen und somit das neue Integral berechnen, wie ich es in meiner ersten Antwort getan haben.
Noch als kleine Anmerkung. Das wir den Differentialquotienten \( \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} \) wie einen einfachen Bruch behandeln ist nicht immer erlaubt. Auch wenn es komisch wirkt, merke dir das du es hier darfst aber im allgemeinen nicht. Warum das so ist, würde den Rahmen dieser Frage sprengen.
Ich hoffe es ist jetzt klarer geworden. :) ─ christian_strack 04.12.2019 um 16:04
Lassen wir den Vorfaktor \( -2 \) einmal kurz weg, denn es ist verständlich das wir diesen vor das Integral ziehen dürfen oder? Am Ende muss dann nur noch das jeweilige Ergebnis (im folgenden) mit \(-2 \) multipliziert werden.
Gucken wir uns also das Integral
$$ \int e^{- \frac t 2 } \mathrm{d}t $$
an. Wir haben gesehen, dass wenn wir
$$ f(t) = e^{-\frac t2 } $$
ableiten, wir
$$ f'(t) = - \frac 1 2 e^{-\frac t 2} $$
erhalten. Nun ist das integrieren das Gegenstück zum differenzieren. WIr suchen also eine Funktion die abgeleitet unsere gegebene Funktion ergibt.
Bis hier hin verständlich?
Nun ändert sich in unserem Fall nur der Vorfaktor. Deshalb muss unsere Stammfunktion die Form
$$ F(t) = a \cdot e^{-\frac t 2 } $$
haben, mit irgendeinem \( a \) das wir gerade noch nicht näher benennen können. Nun leiten wir diese Funktion doch einmal ab
$$ F'(t) = a \cdot \left(- \frac 1 2 \right) e^{-\frac t2} $$
Wir dürfen den Vorfaktor ja wieder einfach übernehmen und die Ableitung von \( e^{-\frac t2} \) haben wir uns ja vorher angeguckt,
Ist bis hierhin auch noch alles klar?
Nun ist unsere gegebene Funktion ja die Ableitung der Stammfunktion \( F(t) \), also
$$ F'(t) = f(t) $$
Wir können also das gerade berechnete gleichsetzen
$$ a \cdot (- \frac 1 2) \cdot e^{-\frac t2} = e^{-\frac t2} $$
Wir teilen beiden Seiten durch \( e^{-\frac t2} \) und erhalten
$$ a \cdot (- \frac 12 ) = 1 \\ a = -2 $$
So kann man sich einige Stammfunktionen herleiten, indem man sich eben überlegt, welche Funktion abgeleitet die gegebene Funktion ergibt.
Jetzt können wir das Integral aber auch mittels Substitution lösen.
Noch als kleine Anmerkung. Mein Prof meinte damals differenzieren kann jeder lernen, aber integrieren ist eine hohe Kunst. Das liegt daran, dass die Methoden der Integration nicht mehr so eindeutig anwendbar sind und auch nicht immer funktionieren.
Dabei hilft einfach viel Übung, deshalb nicht unterkriegen lassen. :) Darum gucken wir uns jetzt noch genau die Substitution an.
Substitution bedeutet soviel wie ersetzen. Wir wollen einen Teil unserer Funktion so ersetzen, dass wir mit der "neuen" Form besser rechnen können.
Deshalb gucken wir uns nochmal genau unsere Funktion an
$$ e^{-\frac t2} $$
Das was uns abhält, das Integral einfach zu berechnen, ist der Exponent. \( e^t \) wäre kein Problem, denn wir wissen, das die Ableitung der Exponentialfunktion immer wieder die Exponentialfunktion ist. Also ersetzen (substituieren) wir den Exponenten mit \( u = - \frac t2 \).
Soweit verständlich?
Jetzt hängt aber unser Differential ebenfalls von \( t \) ab (\(\mathrm{d}t\)). Also müssen wir das Differential auch noch irgendwie verändern.
Das Differential steht für winzig kleine Änderungen in der Variable \( t \).
Nun wollen wir also wissen, wie sich \( u \) ändert, wenn \( t \) kleine Änderungen erlebt.
Kleine Änderungen sind auch die Idee hinter der Ableitung. Wie sehr ändert sich eine Funktion, wenn wir einen klitzekleinen Schritt weiter auf der Funktion gehen.
Nun haben wir ja durch die Substitution \( u = - \frac t2 \) einen Zusammenhang zwischen \( u \) und \( t \).
Also differenzieren wir \( u(t) \) nach \( t \), um zu wissen wie sich \( u(t) \) ändert, wenn sich \( t \) ändert.
$$ \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 $$
Bis hier hin klar?
Nun formen wir die Gleichung oben nur noch um, sodass wir den Zusammenhang für \( \mathrm{d}t \) einsetzen können. Wir formen die Gleichung also so um, sodass \( \mathrm{d}t\) alleine steht
$$ \begin{array}{ccccl} & \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} & = & - \frac 1 2 & \vert \cdot \mathrm{d}t \\ \Rightarrow & {\mathrm{d}u} & = & - \frac 1 2 \mathrm{d}t & \vert \cdot -2 \\ \Rightarrow & -2 \mathrm{d}u & = & \mathrm{d}t \end{array} $$
Das können wir nun in unser Integral einsetzen und somit das neue Integral berechnen, wie ich es in meiner ersten Antwort getan haben.
Noch als kleine Anmerkung. Das wir den Differentialquotienten \( \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} \) wie einen einfachen Bruch behandeln ist nicht immer erlaubt. Auch wenn es komisch wirkt, merke dir das du es hier darfst aber im allgemeinen nicht. Warum das so ist, würde den Rahmen dieser Frage sprengen.
Ich hoffe es ist jetzt klarer geworden. :) ─ christian_strack 04.12.2019 um 16:04
Perfekt Danke Danke Danke für all die Mühe 👍😊 ich bin auf eine gestoßen = 7e^(5x)
Die Stammfunktion daraus war 1/5 7e^(5x)
Warum geht hier die Substitutionsregel nicht ? Ich komme auf 35e^(5x) weil ich die 7 am Anfang vor den Term gestellt habe was man ja darf und dann habe ich es nach dt umgestellt wo dann du/5 rauskam und habe es eingesetzt in den Term. Dann hab ich die 5 mal der 7 vor dem Term gerechnet und den Rest normal zu Ende bearbeitet aber es kommt nicht das selbe raus ;( ─ anonym4e376 04.12.2019 um 16:48
Die Stammfunktion daraus war 1/5 7e^(5x)
Warum geht hier die Substitutionsregel nicht ? Ich komme auf 35e^(5x) weil ich die 7 am Anfang vor den Term gestellt habe was man ja darf und dann habe ich es nach dt umgestellt wo dann du/5 rauskam und habe es eingesetzt in den Term. Dann hab ich die 5 mal der 7 vor dem Term gerechnet und den Rest normal zu Ende bearbeitet aber es kommt nicht das selbe raus ;( ─ anonym4e376 04.12.2019 um 16:48
Du hast nur einen kleinen Rechenfehler gemacht. Wenn ich dich richtig versteh, hast du richtig berechnet, das
$$ \mathrm{d}x = \frac {\mathrm{d}u} 5 $$
ist oder?
Wir haben also das Integral
$$ \int 7e^{5x} \mathrm{d}x = 7 \int e^{5x} \mathrm{d}x = 7 \int e^{u} \frac {\mathrm{d}u} 5 = 7 \cdot \frac 1 5 \int e^u \mathrm{d}u = \frac 7 5 e^u = \frac 7 5 e^{5x} $$
Sehr sehr gerne. Freut mich das es um einiges klarer geworden ist :) ─ christian_strack 04.12.2019 um 16:54
$$ \mathrm{d}x = \frac {\mathrm{d}u} 5 $$
ist oder?
Wir haben also das Integral
$$ \int 7e^{5x} \mathrm{d}x = 7 \int e^{5x} \mathrm{d}x = 7 \int e^{u} \frac {\mathrm{d}u} 5 = 7 \cdot \frac 1 5 \int e^u \mathrm{d}u = \frac 7 5 e^u = \frac 7 5 e^{5x} $$
Sehr sehr gerne. Freut mich das es um einiges klarer geworden ist :) ─ christian_strack 04.12.2019 um 16:54
:) Danke aber ist es nicht dann auch so dass ich bei dem vorherigen Beispiel wo dx=-1/2*du war 2e… rauskommt anstatt 4e… ? Das ist mir noch nicht klar sonst alles Danke :)
─
anonym4e376
04.12.2019 um 18:23
$$ \int (-2) e^{- \frac t2} \mathrm{d}t = -2 \int e^{-\frac t2} \mathrm{d}t = -2 \int e^u (-2 \mathrm{du}) = -2 \int -2e^u \mathrm{d}u = -2 \cdot (-2) \int e^u \mathrm{d}u = 4 \int e^u \mathrm{d}u = 4e^u = 4e^{-\frac t2} $$
Es ist ja
$$ \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 \\ \mathrm{d}t = \frac {\mathrm{d}u} {-\frac 1 2} = -2 \mathrm{d}u $$ ─ christian_strack 04.12.2019 um 19:09
Es ist ja
$$ \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = - \frac 1 2 \\ \mathrm{d}t = \frac {\mathrm{d}u} {-\frac 1 2} = -2 \mathrm{d}u $$ ─ christian_strack 04.12.2019 um 19:09