Hallo,
ich bin mir nicht 100% sicher , aber vielleicht können wir ja zusammen einen basteln :)
Das \( f(x) \) und \( f'(x) \) keine gleichen Nullstellen haben, bedeutet das jede Nullstelle von \( f(x) \) eine einfache Nullstelle ist.
Desweiteren bedeutet es, dass bei den Nullstellen der Graph die \(x\)-Achse tatsächlich schneidet und nicht nur berührt.
Ich denke dadurch kann man zeigen, dass zwische zwei Nullstellen immer ein offenes Intervall ohne Nullstellen ist. Da wir nun aber ein Intervall endlicher Länge haben würde ich sagen, können wir nur endlich viele Intervalle finden, zwischen denen noch offene Intervalle liegen deren Länge nicht gegen Null geht.
Denn würde die Länge dieser Intervalle gegen Null gehen, dann hätten wir im Grenzfall doppelte Nullstellen.
Was meinst du dazu?
Grüße Christian
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