Hallo,

die Grenzwertsätze sind etwas anderes als das Quotientenkriterium. 

Die Grenzwertsätze machen Aussagen, über das rechnen von konvergenten Folgen und die Auswirkungen auf deren Grenzwerte.
Das Quotientenkriterium kann eine Aussage über die Konvergenz einer Reihe machen, jedoch kann sie nichts zum Grenzwert sagen.

Man kann die Grenzwertsätze nehmen um mit Quotientenkriterium die Konvergenz zu zeigen.

Die a) hast du richtig. Bei der b) und c) hat Linearealgebruh recht. Mittels geometrische Reihe kannst du dann auch den Grenzwert von \( s_n \) explizit berechnen. Fürs bessere Verständnis der c)

$$ \sum\limits_{i=1}^n \frac {3^{2i}} {5^{i-1}} = \sum\limits_{i=1}^n \frac {(3^{2})^{i}} {5^i \cdot \frac 1 5} = \sum\limits_{i=1}^n 5\frac {9^{i}} {5^{i}} = 5\sum\limits_{i=1}^n \left(\frac {9} {5} \right)^i $$

Nun siehst du sofort, das keine Nullfolge vorliegt.

Die Konvergenz der Reihe \( u_n \) siehst schnell mittels Quotientenkritierium (wenn du einen Bruch mit Fakultäten hast, bietet sich sehr häufig das Quotientenkriterium an).

Du hast die Koeffizientenfolge 

$$ a_n = \frac {2n!} {(2n)!} $$

und somit

$$ a_{n+1} = \frac {2(n+1)!} {(2(n+1))!} = \frac {2(n+1)!} {(2n+2)!} $$

Nun nutzen wir das Quotientenkriterium und erhalten

$$ \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right| = \left| \frac {2(n+1)! \cdot (2n)!} {(2n+2)! \cdot 2n!} \right| $$

Da wir keine negativen Werte erzugen können, können wir den Betrag weglassen. Dann fangen wir an zu kürzen. Wir kürzen zuerst die \( 2 \) und vereinfachen dann die Fakultäten. Bedenke es gilt \( (n+1)! = n! \cdot (n+1) \).

$$ \frac {(n+1)! \cdot (2n)!} {(2n+2)! \cdot n!} = \frac {n! \cdot (n+1) \cdot (2n)!} {(2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) \cdot n!} $$

Nach weiterem kürzen erhalten wir

$$ \frac {n+1} {(2n+1) \cdot (2n+2)} $$

Von diesem Ausdruck den Grenzwert zu berechnen sollte machbar sein oder?

Grüße Christian