Menge von orthogonalen Vektoren linear unabhängig: Beweisen

Erste Frage Aufrufe: 957     Aktiv: 09.12.2019 um 18:53
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Hallo zusammen :)

Ich müsste folgendes Beweisen:

Sei V ein 􏰁-Vektorraum mit Skalarprodukt (·|·) : V × V → R 􏰁. Sei M ⊆ V \{0} eine Menge von paarweise orthogonalen Vektoren (d.h. es gilt (b|b') = 0 für beliebige b,b′ ∈ M mit b = b'). Beweisen Sie, dass M dann linear unabhängig ist.

 

Das ist doch eigentlich logisch? Natürlich sind orthogonale Vektoren nicht parallel und damit linear unabhängig, aber wie beweise ich das formal korrekt? 

Vielen Dank für jede Antwort!

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Student, Punkte: 10

 
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Hallo,

du meinst vermutlich \( b \neq b' \) oder? 

Für linear Unabhängigkeit gilt

$$ \lambda_1 b + \lambda_2 b' = 0 $$

Nun multiplizieren wir die Gleichung mit \( b \)

$$ \lambda_1 b  b + \lambda_2 b' b = 0 $$

Kannst du daraus die lineare Unabhängigkeit folgern?

Grüße Christian

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