Hallo,

nehmen wir mal die a)

$$ 3x^2 - 27x + 9 $$

Wir wollen diesen Term in einen Ausdruck mit binomischer Formel umwandeln. Gucken wir uns die ersten beiden binomischen Formeln einmal an

$$ (x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 \\ (x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 $$

Die zweite binomische Formel hat auch ein negatives Vorzeichen vor dem Summanden mit \( x \), deshalb nehmen wir diese. 

Da wir versuchen die rechte Seite der Gleichung zu erzeugen, klammern wir zuerst den Vorfaktor von \(x^2 \) aus. Dadurch haben wir schon mal auch ein \( x^2 \).

$$ 3x^2 - 27x + 9 = 3(x^2 - 9x + 3) $$

Nun da wir den ersten Summanden in der Klammer schon mal genau wie auf der rechten Seite der Gleichung haben, konzentrieren wir uns auf den zweiten Summanden.

Wir vergleichen den zweiten Summanden der ausgeklammerten zweiten binomischen Formel mit unserem zweiten Summanden

$$ -2ax = -9x $$

Daraus können wir einen Wert für \( a \) berechnen. Wie lautet dieser?

Nun gucken wir uns nochmal die binomische Formel an

$$ (x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 $$

Setze dort mal dein \( a \) ein und vergleiche deine Gleichung mit dem Ergebnis der binomischen Formel. Es ist nun nur noch der Summand ohne \( x \) und \( x^2 \) unterschiedlich. Wir müssen nun noch einen konstanten Wert addieren bzw subtrahieren. Was fehlt um von deinem konstanten Wert auf \( a^2 \) zu kommen ( für dein berechnetes \(a\)).

Nun kannst du die binomische Formel rückwärts anwenden, und hast eine Term der Form

$$ 3((x-a)^2 + b) $$

\( b \) ist dabei der Wert den du dazuaddieren (bzw subtrahieren) musstest. Daraus erhalten wir

$$ 3(x-a)^2 + 3b $$

mit dem richtigen \(a \) und \( b \) erhälst du dann deine Scheitelpunktform.

Versuch dich mal ich gucke gerne nochmal über deine Lösung drüber.

Grüße Christian