Hallo,

ich nehme mal an, das es nicht absichtlich ist das der Laufindex einmal bei \( n=0 \) und einmal bei \( n=1 \) anfängt.

Es gilt

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + c_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n $$

Wenn nun \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) und \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n \) konvergieren, gilt

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n = b + c $$

Wobei \( b \) und \( c \) die jeweiligen Grenwerte sind. Somit konvergiert \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) gegen \( b+c \).

Bei der zweiten Aussage können wir die Reihe wieder aufteilen. \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \) konvergiert, also erhalten wir

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = b + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n $$

da \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n \) immer weiter läuft und größer wird, kann \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) nicht konvergieren.

Wenn beide divergieren können wir keine allgemeine Aussage machen. 

Beispiel 1) 

$$ b_n = c_n = n $$

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2n $$

diese Reihe divergiert offensichtlich

Beispiel 2)

$$ b_n = (-1)^n \cdot n \\ c_n = (-1)^{n+1} \cdot n $$

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot n + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot n + (-1)^{n+1} \cdot n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} ((-1)^n + (-1)^{n+1} ) \cdot n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 0  = 0 $$

Diese Reihe konvergiert offensichtlich.

Grüße Christian