Vektorraum \(\mathbb{R}\) über \(\mathbb{Q}\), Erzeugendensystem und Basis

Aufrufe: 734     Aktiv: 13.12.2019 um 10:22
1

Hey,

ich stehe noch ganz am Anfang von Vektorräumen, Erzeugendensystem und Basis.

Ich frage mich, wie ein Erzeugendensystem für den Vektorraum \(\mathbb{R}\) über \(\mathbb{Q}\) aussehen kann.
Gelesen habe ich, dass sich jeder Vektor in \(\mathbb{R}\) als Linearkombination mit (\(a_1\), \(a_2\), ...., \(a_n\)) aus \(\mathbb{Q}\) darstellen liesse.

Ist das wirklich richtig?
Wahrscheinlich habe ich es dann nicht richtig verstanden.

Denn ich dachte, dass sich zum Beispiel \(\sqrt2\) nicht in einer Linearkombination aus \(\mathbb{Q}\) darstellen lässt.

Vielleicht kann mir jemand helfen und sagen, was ich falsch verstehe!


Tausend Dank!
Max


 

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 17

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
2

Hallo,

es gibt nicht den einen \(\mathbb{R}\)-Vektorraum über \(\mathbb{Q}\). 

Ein Vektorraum besteht aus einer Menge, einem Körper und der Vektoraddition und sklaren Multiplikation. Deine Aussage bedeutet, das unsere Vektoren aus \( \mathbb{R } \) sind, aber deine Sklare aus \( \mathbb{Q} \). Das könntenbeispielsweise der Vektorraum

$$ V = \{ a+ \sqrt{2} b | a,b \in \mathbb{Q} \} $$

sein, in dem auch \( \sqrt{2} \) enthalten ist. Die wird nämlich dann durch \( a=0\) und \( b=1 \) erzeugt.

Grüße Christian

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

 

Kommentar schreiben