Hallo!

Dieses Mal soll ich zeigen, dass die Eulersche Differentialgleichung

$$y^{(n)}(x) + \sum\limits_{j=0}^{n-1}a_{j}x^{j-n}y^{(j)}(x)=b(x), \; x\gt0 $$

für die Substitution \(w(t)=y(e^{t})\) mit \(n=1,2,3\) in eine lineare Diff'-gleichung übergeht. (Außerdem \(a_{0},...,a_{n-1}\in\mathbb{K}\) und \(b:\; ]0,\infty[\;\rightarrow\mathbb{K}\))

Ich habe diese Transformation auch im Wikipedia-Artikel zur Eulerschen Diff'-gleichung gefunden, verstehe das jedoch nicht ganz. Muss ich dann in diesem Fall hier \(y(x)=w(\ln(x))\) einsetzen?

Ich erhalte dann jedenfalls \(y'(x) + \frac{a_{0}}{x}y(x)=b(x) \Leftrightarrow \frac{w'(\ln(x))}{x} + \frac{a_{0}}{x}w(\ln(x))=b(x)\) (für \(n=1\)). Ist das schon die gesuchte Gleichung?

Vielleicht kann es mir jemand am Beispiel \(n=1\) erläutern? Für \(n=2,3\) sollte ich das Gelernte dann ja übertragen können.

Vielen herzlichen Dank!