Ich glaube ich würde es mal so versuchen:

\(\sqrt a + \sqrt b = \sqrt c \quad|\text{quadrieren}\)

\(a + b + 2\sqrt{ab} = c\)

Folglich muss gelten: \(2\sqrt{ab}\) muss aus N kommen.

\(2\sqrt{ab} = n\)

\(n^2 = 4ab\)

\(ab = \frac{n^2}{4} = m^2\)

(immerhin wollen wir ja nur natürliche Zahlen)

Schauen wir uns nun deine Beispiele an:

\(\sqrt2 + \sqrt8 \to 2\cdot8 = 16 = 4^2\)

Das sollte also funktionieren.

\(\sqrt 2 + \sqrt8 = \sqrt2 + 2\sqrt2 = 3\sqrt2 = \sqrt{18}(=\sqrt c)\)

Und das zweite Beispiel:

\(\sqrt{3} + \sqrt{12} \to 3\cdot12 = 36 = 6^2\)

Sollte ebenfalls funktionieren.

\(\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} = \sqrt{27}\)