(Twitter)
Den Satz von Cayley-Hamilton benötigt man beispielsweise in der Kontinuumsmechanik. Dort modelliert man das Verhalten von Materialien mit Hilfe der Invarianten einer "Matrix" (Tensorrechnung wäre hier das richtige Stichtwort).
Mit dem Satz von Cayley-Hamilton kann man dort eine dritte Invariante ganz einfach aus zwei bekannten Invarianten berechnen. Man spart sich also in manchen Situationen einfach Rechenaufwand:
Grob gesagt kann man sich also aus der Gleichung
\( \varepsilon^3-I_1\varepsilon^2+I_2\varepsilon-I_3 \textbf I = \textbf 0\)
das \(I_3 \) berechnen, wenn \(I_1 \), \(I_2 \) und \(\varepsilon \) gegeben sind. \( \textbf I\) wäre hier die Einheitsmatrix. Wo die Gleichungen herkommen ist nicht so wichtig.
Hoffe dass hat dir ein wenig geholfen.
Student, Punkte: 90
http://www.math.kit.edu/ianmip/lehre/hm2mach2012s/media/loesungen5.pdf
Dort wird zunächst das charakteristische Polynom einer Matrix A in Aufgabe a) aufgestellt. Aus diesem erhält man die Eigenwerte der Matrix (falls du an dieser Stelle Probleme hast, dafür gibt es einige gute Videos von Daniel auf Youtube).
Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist es nun egal, ob wir in das charakteristische Polynom unsere Eigenwerte einsetzen oder gleich die ganze Matrix A, wir bekommen in beiden Fällen als Ergebnis 0 beziehungsweise die Nullmatrix. ─ carl friedrich haus 27.12.2019 um 12:25