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Hallo,
du findest vermutlich nichts dazu, weil dieser Begriff nur in einem engeren Kontext Sinn macht. Induziert bedeutet soviel wie durch äußere Umstände herbeigeführt. Zum Beispiel induziert eine Matrixmultiplikation eine lineare Abbildung.
Die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
induziert die Abbildung
$$ f(x_1,x_2) = (x_1 + 2x_2 , 3x_1 + 4x_2) $$
Wenn ihr vielleicht schon mit dem Skalarprodukt gerechnet habt, dann induziert ein Skalarprodukt eine Norm über
$$ \Vert x \Vert = \sqrt{<x,x>} $$
Die Norm ist in diesem Kontext auch eine induzierte Abbildung.
Vielleicht willst du deinen genaueren Kontext einmal sagen, dann kann ich dir vielleicht noch genaueres sagen.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Sehr gerne :)
Hier bildet unsere induzierte Abbildung genauso ab wie die Abbildung \( \phi \), nur das der Definitions- und Wertebereich eingeschränkt wurde.
─ christian_strack 03.01.2020 um 16:59
Hier bildet unsere induzierte Abbildung genauso ab wie die Abbildung \( \phi \), nur das der Definitions- und Wertebereich eingeschränkt wurde.
─ christian_strack 03.01.2020 um 16:59
Gut.
Dann probiere ich mich mal dran, Danke ! ─ mimihopsi 03.01.2020 um 17:01
Dann probiere ich mich mal dran, Danke ! ─ mimihopsi 03.01.2020 um 17:01
Wenn noch Fragen zur Aufgabe auftauchen melde dich gerne wieder :)
─
christian_strack
03.01.2020 um 17:01
Ich habe doch mehr Probleme als erwartet.Oben habe ich meinen Gedankenansatz hinzugefügt.
Einmal die Frage ob ich das in der ersten mit Bleistift geschriebenen Zeile so machen kann.
Und wenn die anderen Angaben auch stimmen, wüsste ich nicht wie ich jetzt Beweisen soll dass es Surjektiv ist
Liebe Grüße ─ mimihopsi 04.01.2020 um 23:15
Einmal die Frage ob ich das in der ersten mit Bleistift geschriebenen Zeile so machen kann.
Und wenn die anderen Angaben auch stimmen, wüsste ich nicht wie ich jetzt Beweisen soll dass es Surjektiv ist
Liebe Grüße ─ mimihopsi 04.01.2020 um 23:15
Zuerst einmal eine Anmerkung.
$$ V \backslash U \neq \frac V U $$
\( V \backslash U \) steht für die Menge \( V \) ohne die Menge \( U \) und ist kein Bruch.
Gehen wir das mal zusammen durch.
Ich denke hinter deinem geschriebenen versteckt sich der richtige Gedanke.
Surjektivität:
Wie du schon richtig schreibst, ist eine Funktion surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereiches angenommen wird.
Nun ist Surjektivität im großen und ganzen eine Eigenschaft des Wertebereichs, denn wir können von jeder Funktion den Wertebereich so einschränken, das die Funktion surjektiv wird. Und genau das machen wir hier. Wir nehmen aus dem Wertebereich alle Elemente, die nicht im Bild sind, also nicht angenommen werden. Dadurch bleiben logischerweise nur die Elemente übrig, die tatsächlich angenommen werden.
Injektivität:
Hier kommt es etwas darauf an was ihr schon für Sätze bewiesen habt. Meistens macht man in der Vorlesung eine Aussage zur Beziehung von Kern und Injektivität.
Habt ihr den Satz, das wenn der Kern einer linearen Abbildung nur den Nullvektor enthält die Abbildung injektiv ist? Damit wäre die Injektivität sofort gezeigt, denn alle Elemente die auf die Null abbilden (also im Kern sind) werden aus dem Definitionsbereich herausgenommen.
Grüße Christian
─ christian_strack 06.01.2020 um 11:53
$$ V \backslash U \neq \frac V U $$
\( V \backslash U \) steht für die Menge \( V \) ohne die Menge \( U \) und ist kein Bruch.
Gehen wir das mal zusammen durch.
Ich denke hinter deinem geschriebenen versteckt sich der richtige Gedanke.
Surjektivität:
Wie du schon richtig schreibst, ist eine Funktion surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereiches angenommen wird.
Nun ist Surjektivität im großen und ganzen eine Eigenschaft des Wertebereichs, denn wir können von jeder Funktion den Wertebereich so einschränken, das die Funktion surjektiv wird. Und genau das machen wir hier. Wir nehmen aus dem Wertebereich alle Elemente, die nicht im Bild sind, also nicht angenommen werden. Dadurch bleiben logischerweise nur die Elemente übrig, die tatsächlich angenommen werden.
Injektivität:
Hier kommt es etwas darauf an was ihr schon für Sätze bewiesen habt. Meistens macht man in der Vorlesung eine Aussage zur Beziehung von Kern und Injektivität.
Habt ihr den Satz, das wenn der Kern einer linearen Abbildung nur den Nullvektor enthält die Abbildung injektiv ist? Damit wäre die Injektivität sofort gezeigt, denn alle Elemente die auf die Null abbilden (also im Kern sind) werden aus dem Definitionsbereich herausgenommen.
Grüße Christian
─ christian_strack 06.01.2020 um 11:53
Okay, danke für den Hinweis dass wäre in einem großen Chaos geendet .
Super die Surjektivität habe ich verstanden, nur wie drück ich das am besten aus ? Ich denke nicht das ich einen Text schreiben soll.Reicht da ϕ (v) = Bild (ϕ) sicherlich nicht oder?
Ja wir haben einen Satz der sich damit beschäftigt :
Für eine K-lineare Abbildung ϕ : V -> W sind folgende Aussagen äquivalent:
1. ϕ ist injektiv
2. ker(ϕ) = {0}
ich denke den meinst du oder? ─ mimihopsi 06.01.2020 um 13:23
Super die Surjektivität habe ich verstanden, nur wie drück ich das am besten aus ? Ich denke nicht das ich einen Text schreiben soll.Reicht da ϕ (v) = Bild (ϕ) sicherlich nicht oder?
Ja wir haben einen Satz der sich damit beschäftigt :
Für eine K-lineare Abbildung ϕ : V -> W sind folgende Aussagen äquivalent:
1. ϕ ist injektiv
2. ker(ϕ) = {0}
ich denke den meinst du oder? ─ mimihopsi 06.01.2020 um 13:23
Gerne :)
Man kann einen Beweis auch führen ohne ein mathematisches Zeichen. Die Hauptsache ist, dass die Aussage logisch ist.
Wenn du es aber formal machen willst, nimm dir die Definition von Surjektivität:
Die Funktion \( f : X \to Y \) ist surjektiv, wenn
$$ \forall y \in Y \ \exists x \in X : f(x) = y $$
Dann nehmen wir uns noch die Definition des Bildes
$$ \mathrm{Im}(f) := \{ y \in Y : \ \exists x \in X \ \text{mit} \ f(x) = y \} $$
Ich denke man sieht schon die Gemeinsamkeit der beiden Definitionen. :)
Ja genau diesen Satz meine ich. Damit sollte die Injektivität schnell gezeigt sein. ─ christian_strack 06.01.2020 um 13:51
Man kann einen Beweis auch führen ohne ein mathematisches Zeichen. Die Hauptsache ist, dass die Aussage logisch ist.
Wenn du es aber formal machen willst, nimm dir die Definition von Surjektivität:
Die Funktion \( f : X \to Y \) ist surjektiv, wenn
$$ \forall y \in Y \ \exists x \in X : f(x) = y $$
Dann nehmen wir uns noch die Definition des Bildes
$$ \mathrm{Im}(f) := \{ y \in Y : \ \exists x \in X \ \text{mit} \ f(x) = y \} $$
Ich denke man sieht schon die Gemeinsamkeit der beiden Definitionen. :)
Ja genau diesen Satz meine ich. Damit sollte die Injektivität schnell gezeigt sein. ─ christian_strack 06.01.2020 um 13:51
Habe eine ungefähre Vorstellung erhalten, habe oben noch die Aufgabe bzw, den Kontext hinzugefügt .
─ mimihopsi 03.01.2020 um 16:43