Erstmal wäre es wahrscheinlich nicht schlecht, den Bruch ein bisschen zu kürzen. 

Dabei kommt es doch sehr gelegen, dass \( x^2  -2x + 1 = (x-1)^2 \). Das kürzt sich dann aus dem Bruch raus und wir erhalten 

\( y = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} \)

Also Nullstellenberechnung sollte klar sein:

Der Bruch wird 0, wenn der Zähler 0 wird. Wann wird der Zähler 0? Für x = 1. Also Nullstelle gleich (1, 0) :)

Pole sind die Definitionslücken, bei denen der Graph gegen +- unendlich geht. Die bekommst du, indem du schaust, für welche x-Werte der Nenner 0 wird.

Der Nenner wird 0 für x = -1. Also haben wir schon mal unsere Polstelle.

Asymptoten im Undendlichen:

Da wir den Bruch vorhin schon vereinfacht haben, sieht man jetzt relativ schnell, dass der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist (= 2). Das heißt, wir haben eine waagerechte Asymptote vor uns.

Die bekommen wir, indem wir die Funktion gegen unendlich, bzw. minus unendlich laufen lassen.

Also \( \frac {(x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac {x^2 - 2x + 1}{x^2+2x+1} \)

Dabei \( x^2 \) ausklammern, wodurch du dann auf \( \frac {x^2 \left( 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \right) }{x^2 \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \right)} \) kommst. Danach die \( x^2 \) wegkürzen.

Die ganzen einzelnen Brüche gehen für x gegen unendlich gegen null, weshalb der ganze Bruch daher gegen 1/1, also gegen 1 konvergiert. Also ist die gesuchte Asymptote a(x) = 1.

Definitionsbereich haben wir ja schon vorhin gehabt. Also ganz R ohne -1.

Wertebereich: (nur kurz, ich muss langsam ins Bett ^^)

Für den Wertebereich kannst die Funktion zweimal ableiten, siehst dann mit der ersten Ableitung, dass x = 1 ein Extremwert ist.

Setzt x = 1 in die zweite Ableitung ein und siehst dadurch, dass es sich hierbei um ein Minimum handelt. 

Ist x ein Minimum, dann kann die Funktion an der Polstelle ja nur gegen unendlich konvergieren. Also hast als Wertebereich alle positiven reelen Zahlen mit der 0.

Ich hoffe, dass ich nirgends aufgrund meiner doch fortgeschrittenen Müdigkeit einen Fehler fabriziert habe. Sollte doch einer auftauchen, darf man mich gerne darauf hinweisen :D

Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Sollten noch Fragen aufkommen, kannst mir natürlich gerne schreiben. 

LG Marco