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Hallo,
$$ (T(p))(x) = x^2 \cdot p'(x))' $$
bedeutet, das unsere Abbildung das Polynom \( p(x) \), auf die Ableitung des Produktes von \( x^2 \) und der Ableitung \( p'(x) \) abbildet.
Nehmen wir beispielsweise das Polynom
$$ p(x) = x^2 + x $$
Dann ergibt das Polynom eingesetzt
$$ (T(p))(x) = \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} ( x^2 \cdot \frac {\mathrm{d}p(x)} {\mathrm{d}x} ) $$
Wir berechnen zuerst
$$ p'(x) = 2x + 1 $$
Damit erhalten wir
$$ (T(p))(x) = ( 2x^3 + x^2 )' = 6x^2 + 2x $$
Nun mach das ganze einmal allgemein mit dem Polynom
$$ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$
Überlege dir zusätzlich, wie dieses Polynom im Bezug auf die Basis \( \mathcal{B} := \{ 1 ,x ,x^2 ,x^3 \} \) als Vektor aussieht.
Versuch dich mal. Wenn noch Probleme auftauchen melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Sehr gerne :)
Ja genau das ist schon mal richtig.
Nun haben wir die Basis \( \mathcal{B} =\{ 1,x,x^2,x^3 \} \). Damit können wir \( p(x) \) der einfachheithalber mal als Vektor darstellen
$$ p(x) = \begin{pmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} $$
Wie sieht denn dann \( (T(p))(x) \) als Vektor aus? ─ christian_strack 08.01.2020 um 20:56
Ja genau das ist schon mal richtig.
Nun haben wir die Basis \( \mathcal{B} =\{ 1,x,x^2,x^3 \} \). Damit können wir \( p(x) \) der einfachheithalber mal als Vektor darstellen
$$ p(x) = \begin{pmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} $$
Wie sieht denn dann \( (T(p))(x) \) als Vektor aus? ─ christian_strack 08.01.2020 um 20:56
Ich bin mir nicht sicher wie der Code für den Vektor lautet :D
\( (T(p))(x) = (12a_3x^3,6a_2x^2 ,2a_1x,0) \) aber das halt von oben nach unten geschrieben.
Und ich bin ein Idiot, ich habe mein vorheriges Kommentar versehentlich bearbeitet anstatt meine Antwort hierdrunter zu schreiben. ─ [email protected] 08.01.2020 um 21:06
\( (T(p))(x) = (12a_3x^3,6a_2x^2 ,2a_1x,0) \) aber das halt von oben nach unten geschrieben.
Und ich bin ein Idiot, ich habe mein vorheriges Kommentar versehentlich bearbeitet anstatt meine Antwort hierdrunter zu schreiben. ─ [email protected] 08.01.2020 um 21:06
Fast. Ohne die \( x^i \). Der Befehl ist
\begin{pmatrix} 12a_3 \\ 6a_2 \\ 2a_1 \\ 0 \end{pmatrix} (Wenn du in eine Zeile ein & setzt, dann kannst du eine Matrix daraus basteln), also
$$ \begin{pmatrix} 12a_3 \\ 6a_2 \\ 2a_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Das ist mir auch einige male passiert. An manche Dinge muss man sich erst gewöhnen ;)
So nun haben wir unseren Zielvektor. Es gilt also
$$ A \cdot \begin{pmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12a_3 \\ 6a_2 \\ 2a_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
\( A \) ist eine \( 4 \times 4 \)-Matrix. Kannst du diese jetzt aufstellen? ─ christian_strack 08.01.2020 um 21:13
\begin{pmatrix} 12a_3 \\ 6a_2 \\ 2a_1 \\ 0 \end{pmatrix} (Wenn du in eine Zeile ein & setzt, dann kannst du eine Matrix daraus basteln), also
$$ \begin{pmatrix} 12a_3 \\ 6a_2 \\ 2a_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Das ist mir auch einige male passiert. An manche Dinge muss man sich erst gewöhnen ;)
So nun haben wir unseren Zielvektor. Es gilt also
$$ A \cdot \begin{pmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12a_3 \\ 6a_2 \\ 2a_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
\( A \) ist eine \( 4 \times 4 \)-Matrix. Kannst du diese jetzt aufstellen? ─ christian_strack 08.01.2020 um 21:13
\begin{pmatrix} 12 \ 0 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 6 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 0 \ 2 \ 0 \\ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}
würde ich sagen ─ [email protected] 08.01.2020 um 21:23
würde ich sagen ─ [email protected] 08.01.2020 um 21:23
Jap das ist richtig. :)
Machen wir mal den Test mit dem anfänglichen Beispiel
$$ \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 6x^2 + 2x $$
Das ist genau das was wir im Beispiel herausbekommen haben :)
Wie gesagt wenn du in deinem Code anstatt \ ein & setzt, dann hast du die Matrix wie ich sie geschrieben habe :)
─ christian_strack 08.01.2020 um 21:29
Machen wir mal den Test mit dem anfänglichen Beispiel
$$ \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 6x^2 + 2x $$
Das ist genau das was wir im Beispiel herausbekommen haben :)
Wie gesagt wenn du in deinem Code anstatt \ ein & setzt, dann hast du die Matrix wie ich sie geschrieben habe :)
─ christian_strack 08.01.2020 um 21:29
Vielen vielen vielen Dank! Du bist der Beste :D. Echt super, dass du dir die Zeit nimmst.
Also ist die endgültige Lösung
$$ \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12a_3 \\ 6a_2 \\ 2a_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
richtig?
Ich hätte noch eine letzte Frage: (tut mir leid, dass ich weiter deine Zeit beanspruche) Warum lassen wir die \( x^i \) weg? ─ [email protected] 08.01.2020 um 21:39
Also ist die endgültige Lösung
$$ \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12a_3 \\ 6a_2 \\ 2a_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
richtig?
Ich hätte noch eine letzte Frage: (tut mir leid, dass ich weiter deine Zeit beanspruche) Warum lassen wir die \( x^i \) weg? ─ [email protected] 08.01.2020 um 21:39
Sehr gerne :)
Gar kein Problem. Immer raus mit den Fragen.
Die Matrix ist deine Lösung :) den Vektor haben wir nur aufgestellt um zu sehen, wie sich allgemein ein Vektor durch die Abbildung verändert. :p
Nehmen wir mal als Vektorraum \( \mathbb{R}^3 \).
Die Standardbasis dieses Vektorraums ist
$$ \mathcal{A} =\left\{ \underset{e_1}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} , \underset{e_2}{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} , \underset{e_3}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right\} $$
Nun können wir jeden Vektor aus \( \mathbb{R}^3 \) als Linearkombination dieser Einheitsvektoren darstellen.
Nehmen wir den Vektor
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 e_1 + 2 e_2 + 3 e_3 $$
Nun gehen wir wieder zurück in den Raum der Polynome vom Grad \( \leq 3 \). Die Standardbasis ist
$$ \mathcal{B} := \{ 1 ,x ,x^2 ,x^3 \} $$
Wenn wir uns ein Polynom angucken, beispielsweise
$$ q(x) = 4 x^3+ 2x^2 + 7 x - 3 $$
Dann haben wir im Prinzip wieder eine Linearkombination unserer Einheitsvektoren.
Nun wollen wir mit diesem Vektorraum so rechnen wie mit den intuitiven Vektorraum \( \mathbb{R}^3 \). Deshalb setzen wir
$$ 1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x^2 := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x^3 := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Du kannst dir also vergleichsweise vorstellen, das im ersten Fall \( e_i \) der Name der Einheitsvektoren ist und im zweiten Fall sind es eben die \( x^i \).
Noch ein kleines Beispiel. Man kann die komplexen Zahlen auch als \( \mathbb{R}^2 \) Vektorraum auffassen. indem man sagt
$$ 1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ i := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Dadurch wird beispielsweise die komplexe Zahl
$$ z = 2 + i $$
zum Vektor
$$ z = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Doch warum machen wir das? Durch diese Darstellung ergeben sich für nicht intuitive Vektorräume (Funktionenräume, Polynomräume, komplexe Zahlen etc.) Zusammenhänge die zum Beispiel aus der Idee von Bewegungen entsehen.
Zum Beispiel nutzte Legendre das Skalarprodukt um eine Basis von Funktionen zu finden, mit denen man sehr "einfach" Funktionen approximieren kann.
Ich hoffe das macht es für dich verständlicher. Ansonsten frage immer gerne nochmal nach :) ─ christian_strack 08.01.2020 um 23:49
Gar kein Problem. Immer raus mit den Fragen.
Die Matrix ist deine Lösung :) den Vektor haben wir nur aufgestellt um zu sehen, wie sich allgemein ein Vektor durch die Abbildung verändert. :p
Nehmen wir mal als Vektorraum \( \mathbb{R}^3 \).
Die Standardbasis dieses Vektorraums ist
$$ \mathcal{A} =\left\{ \underset{e_1}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} , \underset{e_2}{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} , \underset{e_3}{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \right\} $$
Nun können wir jeden Vektor aus \( \mathbb{R}^3 \) als Linearkombination dieser Einheitsvektoren darstellen.
Nehmen wir den Vektor
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 e_1 + 2 e_2 + 3 e_3 $$
Nun gehen wir wieder zurück in den Raum der Polynome vom Grad \( \leq 3 \). Die Standardbasis ist
$$ \mathcal{B} := \{ 1 ,x ,x^2 ,x^3 \} $$
Wenn wir uns ein Polynom angucken, beispielsweise
$$ q(x) = 4 x^3+ 2x^2 + 7 x - 3 $$
Dann haben wir im Prinzip wieder eine Linearkombination unserer Einheitsvektoren.
Nun wollen wir mit diesem Vektorraum so rechnen wie mit den intuitiven Vektorraum \( \mathbb{R}^3 \). Deshalb setzen wir
$$ 1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x^2 := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x^3 := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Du kannst dir also vergleichsweise vorstellen, das im ersten Fall \( e_i \) der Name der Einheitsvektoren ist und im zweiten Fall sind es eben die \( x^i \).
Noch ein kleines Beispiel. Man kann die komplexen Zahlen auch als \( \mathbb{R}^2 \) Vektorraum auffassen. indem man sagt
$$ 1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ i := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Dadurch wird beispielsweise die komplexe Zahl
$$ z = 2 + i $$
zum Vektor
$$ z = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Doch warum machen wir das? Durch diese Darstellung ergeben sich für nicht intuitive Vektorräume (Funktionenräume, Polynomräume, komplexe Zahlen etc.) Zusammenhänge die zum Beispiel aus der Idee von Bewegungen entsehen.
Zum Beispiel nutzte Legendre das Skalarprodukt um eine Basis von Funktionen zu finden, mit denen man sehr "einfach" Funktionen approximieren kann.
Ich hoffe das macht es für dich verständlicher. Ansonsten frage immer gerne nochmal nach :) ─ christian_strack 08.01.2020 um 23:49
Unfassbar wie ich es hier so gut verstehe und in den Vorlesungen kaum. Danke
─
[email protected]
09.01.2020 um 08:26
Das freut mich sehr zu hören. Sehr gerne :)
Ja in der Vorlesung rast der Prof meistens durch den Stoff und die Übungsgruppen sind zu voll gepackt um auf wirkliche Probleme einzugehen.
Deshalb frag hier ruhig immer nach falls etwas unklar ist :) ─ christian_strack 09.01.2020 um 10:48
Ja in der Vorlesung rast der Prof meistens durch den Stoff und die Übungsgruppen sind zu voll gepackt um auf wirkliche Probleme einzugehen.
Deshalb frag hier ruhig immer nach falls etwas unklar ist :) ─ christian_strack 09.01.2020 um 10:48
\( (T(p))(x) = (12a_3x^3,6a_2x^2 ,2a_1x,0) \) aber das halt von oben nach unten geschrieben.
Und ich bin ein Idiot, ich habe mein vorheriges Kommentar versehentlich bearbeitet anstatt meine Antwort hierdrunter zu schreiben. ─ [email protected] 08.01.2020 um 20:14