Hallo,
für die a) hättest du auch die Determinante bestimmen können. Die Abbildung ist genau dann nicht bijektiv, wenn sie keine Umkehrabbildung (Inverse) besitzt und diese bestitzt sie genau dann nicht, wenn die Determinante Null ist.
zur b)
Hier würde ich mal ganz allgemein den Kern und das Bild bestimmen (in Abhängigkeit von \(a\)). Dann überprüfe, ob es ein \( a \) gibt, sodass diese beiden Untervektorräume gleich sind.
Grüße Christian
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Gucken wir uns das ganze nochmal an. Bei der a) habe ich \( a = -7 \) heraus. Also erhalten wir die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} $$
Dort steht ja das wir für dieses \( a \) eine Matrix \( B \) finden sollen.
Es macht auch anders wenig Sinn, denn wäre es ein anderes \( a \), dann wäre im Kern nur der Nullvektor (da die Abbildung dann bijektiv und somit injektiv wäre). Und eine Matrix \( B \) die nur den Nullvektor als Bild hat ist ausschließlich die Nullmatrix.
$$ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Also konzentrieren wir uns auf eine Matrix \( B \) zu \( a =-7 \).
Ich erhalte nach Anwendung des Gauß Algorithmus die Matrix
$$ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & a+7 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \underset{a=-7}{\rightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$
Daraus erhalte ich als Kern
$$ \mathrm{ker}(A) = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} , \ t \in \mathbb{R} \right\} $$
Da hast du etwas anderes heraus. Vielleicht willst du einmal deinen Rechenweg hochladen, dann kann ich gucken wo wir die Unterschiede liegen
Nun suchen wir auf jeden Fall eine Matrix \( B \) die diesen Kern als Bild hat. Und da Stand ich auch kurz auf dem Schlauch. Diese Matrix sieht natürlich nicht aus wie die Matrix \( A \) nur mit einem anderen \( a \).
Du hast bereits gesagt, dass die Spaltenvektoren einer Matrix die Basisvektoren des Bildes sind. Also nehme dir 3 Vektoren aus \( \mathrm{ker}(A) \). Da \( \mathrm{ker}(A) \) eindimensional ist, kannst du auch dreimal den selben Vektor nehmen.
So erhälst du auf jeden Fall deine Matix \( B \).
Ist das alles verständlich? ─ christian_strack 09.01.2020 um 20:47
$$ B = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ -3 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
wäre zum Beispiel eine Matrix die diese Gleichung erfüllen würde.
Nur nochmal damit es auch wirklich kein Missverständnis gibt
Wenn der Kern jetzt zweidimensional gewesen wäre, beispielsweise
$$ \mathrm{ker}(A) = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ t,s \in \mathbb{R} \right\} $$
Dann hättest du auch 2 linear unabhängige Vektoren aus dem Kern nehmen müssen, da du sonst nur einen UVR des Kerns als Bild hast. Eine Matrix \( B \) die diesen Kern als Bild hätte, wäre dann beispielsweise
$$ B = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
─ christian_strack 10.01.2020 um 10:15
Ich komme mir so doof vor bei so viel Fragerei 😭 ─ katharinad 10.01.2020 um 11:43
Tut mir echt Leid das ich diese Aufgabe einfach nicht schaffe vernünftig zu lesen. :D
Jetzt machen wir es aber richtig. Ich hoffe du hast noch genug Zeit.
Wir ziehen also die ganze Geschichte von der anderen Seite auf.
Wir bestimmen das Bild von \( A \). Wie sieht das aus? Welche Dimension hat das Bild von \( A \) und somit der Kern von \( B \)?
Wenn wir uns den Rangsatz angucken
$$ \mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(\mathrm{ker}(B)) + \mathrm{dim}(\mathrm{im}(B)) $$
Wissen wir wie viele linear abhängige Spalten die Matrix \( B \) hat.
Versuch diese Fragen erstmal zu beantworten. :)
Falls deine Zeit knapp wird bin ich nach der Verwirrung gerne bereit dir die Aufgabe vorzurechnen :)
─ christian_strack 11.01.2020 um 00:25
Freut mich zu hören das es trotzdem geholfen hat.
Falls du die Aufgabe doch irgendwann nochmal durch gehen willst, melde dich gerne nochmal. ─ christian_strack 12.01.2020 um 16:08
tatsächlich hast du Glück :p
Ich halte aber nicht so viel davon es vorzurechnen. Wir können es aber gerne zusammen durchgehen.
Wir haben die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} $$
Wir suchen zu dieser Matrix \(A \) eine Matrix \( B \) mit
$$ \mathrm{Kern}(B) = \mathrm{Bild}(A) $$
Also brauchen wir zuerst das Bild von \( A \). Ist dir klar wie du das Bild bestimmen kannst?
Grüße Christian ─ christian_strack 02.02.2021 um 21:13
Also das Bild(A) würde ich bestimmen durch A*x=y (x und y Vektor) aber ich habe leider keine Ahnung welche Werte ich einsetzen müsste...
LG ─ aweis 03.02.2021 um 16:09
Wir könnten jetzt entweder ein ganz allgemeines LGS aufstellen und prüfen, für welche \(y\) das LGS alles eine Lösung besitzt, aber das ist etwas aufwendiger.
Es gibt noch einen einfacheren Weg.
Wir können ja alle Vektoren durch die Standardbasis (\(\{e_1,e_2,e_3\}\)) darstellen durch Linearkombination
$$ v = ae_1+be_2+ce_3 $$
Da wir eine Lineare Abbildung haben, gilt
$$ A \cdot v = A \cdot ( ae_1 + be_2 + ce_3 ) = a(Ae_1) + b(Ae_2)+ c(Ae_3) $$
Somit können alle Vektoren im Bildraum der Matrix durch das Erzeugendensystem
$$ \left< (Ae_1) , (Ae_2) , (Ae_3) \right> $$
als Linearkombination dargestellt werden.
Ist das soweit verständlich?
Nun gilt aber beispielsweise für \(e_1 \)
$$ A \cdot e_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} $$
Wir erhalten also die erste Spalte der Matrix als Vektor. Für \( e_2 \) erhalten wir die zweite Spalte und für \(e_3 \) erhalten wir die dritte Spalte der Matrix.
Daraus können wir nun folgern, dass das Bild der Matrix durch die Spaltenvektoren aufgespannt wird.
Macht das für dich Sinn?
Nun da wir das Erzeugendensystem des Bildes kennen? Wie sieht das Bild aus? Welchen Untervektorraum erhalten wir (welche Dimension hat dieser)?
─ christian_strack 03.02.2021 um 17:56
Wenn ich es richtig verstanden habe dann steht e1,e2,e3 also für den einheitsvektor?!
In meinen Unterlagen habe ich jedoch gefunden, dass wenn det(A) != 0 dann ist Bild(A)= alle Spaltenvektoren von A.
Bei dieser Matrix ist jedoch det(A) = 0 . Und nach obiger Rechnung ergeben sich ebenfalls alle Spaltenvektoren von A. Oder nicht? Die Dimension wäre demnach 3. Zum Untervektorraum kann ich leider nichts sagen...
Ich glaube ich brauche einfach mal einen Onlinerechner wo man Bilder bestimmen soll von Matrizen, ich verstehe es einfach nicht ! :(
─ aweis 03.02.2021 um 18:34
Wenn die Determinante ungleich Null ist, also die Abbildung bijektiv ist, dann ist sie auch surjektiv. Das bedeutet, dass das Bild gleich dem Zielvektorraum ist.
Nun haben wir hier aber keine bijektive Abbildung. Wir müssen also überprüfen, welcher Vektorraum hier aufgespannt wird.
Ist denn alles von dem was ich dir erklärt habe verständlich?
Dann können wir da anknüpfen. Lass dich nicht entmutigen. Du bekommst das sicherlich hin :)
Wenn alles verständlich ist, dann sind wir an dem Punkt, dass wir ein Erzeugendensystem des Bildes haben. Was genau ist denn ein Erzeugendensystem? Worin liegt der Unterschied zu einer Basis? ─ christian_strack 03.02.2021 um 19:29
Eine kurze Recherche ergab, das der Hauptunterschied von Basis und Erzeugendensystem der ist, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sein müssen. Basis ist also immer ein Erzeugendensystem, ein Erzeugendensystem jedoch nur dann eine Basis wenn die Vektoren linear unabhängig sind.
Ins Große Ganze kann ich es aber immer noch nicht einordnen befürchte ich ... hoffnungsloser Fall... :( ─ aweis 04.02.2021 um 22:33
Du sagst es ja schon richtig. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem mit ausschließlich lienar unabhängigen Vektoren. Man sagt auch, eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Um jetzt zu wissen, welchen Vektorraum das Erzeugendensystem aufspannt, brauchen wir die Basis des Bildes. Wie erhalten wir also aus diesem Erzeugendensystem eine Basis, die den selben Vektorraum aufspannt? ─ christian_strack 05.02.2021 um 00:01
In dem man jeden Vektor auf lineare Unabhängigkeit prüft? Und daraus dann irgendwie eine Basis ableitet? ─ aweis 05.02.2021 um 13:28
Was bekommst du dabei heraus? ─ christian_strack 05.02.2021 um 18:11
Ich muss es per Addition und Multiplikation zeigen irgendwie, oder?
─ aweis 06.02.2021 um 18:59
$$ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n =0 $$
nur durch \( \lambda_1,\lambda_2, \ldots, \lambda_n =0 \) gelöst wird.
Wenn du auch nur ein \( \lambda_i \) ungleich Null erhälst, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Du musst hier also ein LGS lösen. ─ christian_strack 07.02.2021 um 13:02