Linearität beweisen

Aufrufe: 690     Aktiv: 22.01.2020 um 13:55
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Hallo alle zusammen,

bei der folgenden Aufgabe 

 

bin ich auch grad überfragt. Ich weiß für a) muss ich prüfen ob die Abbildung additiv und multiplikativ ist. Es fällt mir schwer mir dieser Abbildung diese drei Beweise/Herleitungen durchzuführen. Ich bin euch sehr dankbar wenn Ihr mir helfen könntet :) .

Mit freundlichen Grüßen Katharina Damm

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Also für die a), setz einfach mal λf+g in die Abbildung ein, wenn T linear ist müsste ja gelten: T(λf+g) = λT(f) + T(g)   ─   linearealgebruh 06.01.2020 um 09:55
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1 Antwort
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Hallo,

bei der a) gehst du vor, wie es linearealgebruh beschrieben hat.

Für die b) überprüfe, für welche Funktionen diese Abbildung Null wird. 

$$ f' + 2f = 0 $$

Dies ist ein Differentialgleichung 1. Ordnung.

c) Surjektivität bedeutet, das jedes Element aus dem Wertebereich angenommen wird. Das bedeutet, dass diese Differentialgleichung mit jeder (stetig diffbaren) Störfunktion eine Lösung aufweisen muss. 

Versuch dich mal. Wenn noch Probleme auftauchen, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

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Schonmal vielen Dank für die schnelle Antwort :) Werde direkt mal selbst ausrechnen. Aber habe noch so einige Aufgaben vor mir, da wird bestimmt noch die ein oder andere Frage zu einer anderen Aufgabe aufkommen >.<   ─   katharinad 06.01.2020 um 14:23
Sehr gerne. :)
Immer heraus damit :D   ─   christian_strack 06.01.2020 um 14:34
Also an sich Verstanden die Aufgabe. Kern wäre e^-2x und die Surjektivität sollen wir laut Professor einfach in Prosa belegen oder halt widerlegen. Wie kann man sich da am besten Ausdrücken. Das jedes "y" getroffen werden muss, ist mir soweit klar, aber wie gebe ich das für diesen Fall an? 🤯   ─   katharinad 20.01.2020 um 21:12
Ja die homogene Lösung ist
$$ f(x) = Ce^{-2x} $$
Die Konstante nicht vergessen :p
Ich würde sagen Surjektivität bedeutet, das
$$ f' + 2f = s(x) $$
für jedes
$$ s(x) \in C(\mathbb{R}) $$
eine Lösung bestitzt. Habt ihr schon mit der Variation der Konstanten gearbeitet?
Setze dafür
$$ f_p(x) = C(x) \cdot e^{-2x} $$
und setze es mal in die inhomogene DGL ein. Falls du nicht weiter kommst melde dich nochmal :)   ─   christian_strack 22.01.2020 um 00:03
Ne mit Variation von Konstanten haben wir noch nichts gemacht. Professor will auch für die Surjektivität einfach ein Beispiel das nicht "getroffen" wird.
Jemand aus einer Mathelerngruppe hatte z.B. einfach angegeben: |x| Element von C^0(R) kann von (f'-2f) element C^1 nicht getroffen werden.   ─   katharinad 22.01.2020 um 09:00
Und noch was, wo ich nicht Sicher bin, wie bestimme ich in diesem Fall die Dimension vom Kern(T)?   ─   katharinad 22.01.2020 um 10:38
Ah ok. :)

Dein Kern ist
$$ \mathrm{ker}(T) = \{ Ce^{-2x} | \text{mit} \ C \in \mathbb{R} \} $$

Welches Element/welche Elemente erzeugen diesen Kern?   ─   christian_strack 22.01.2020 um 12:15
Die Elemente der reelen Zahlen *fragender blick* und dann dim = 1 ?   ─   katharinad 22.01.2020 um 13:40
Ne, in unserem Kern befinden sich alle Vielfache von \( e^{-2x} \). Ein Vektorraum wird durch die Linearkombination der Elemente der Basis erzeugt. Also beispielsweise wird \( \mathbb{R}^2\) durch
$$ \vec{v} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
erzeugt, mit \( a,b \in \mathbb{R} \).
Nun bedenke das unser Vektorraum Funktionen als Elemente hat. Durch welche Funktion können wir alle Elemente des Kerns erzeugen?   ─   christian_strack 22.01.2020 um 13:55

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