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Hallo,
zur a) der Konvergenzbereich einer Potenzreihe liegt immer symmetrisch um den Entwicklungspunkt ( hier \( x_0 = 2 \)).
Wenn die Reihe noch für \( x= 8 \) konvergiert, dann muss diese auch symmetrisch mit dem gleichen Abstand in die andere Richtung von \( 2 \) konvergieren. Wir erhalten somit das Intervall
$$ x \in (? , 8) $$
zur b) Hier würde ich die Reihe einmal mit der geometrischen Reihe vergleichen. Wann konvergiert/divergiert diese? Was sagt uns das über das \( x \) aus?
Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Hallo ich habe oben in der Frage meinen Lösungsvorschlag hinzufgefügt vielleicht kannst du nochmal drüberschauen :)
─
chris96
08.01.2020 um 14:51
Zur a)
fast richtig. Wir wissen das \( x= 2 \) unser Entwicklungspunkt ist und das die Reihe für \( x= 8 \) noch konvergiert.
$$ 8-2 = 6 $$
Wir haben also den Konvergenzradius \( 6 \). Für den Konvergenzbereich gilt
$$ (x_0 - r , x_0 + r ) = ( 2 - 6 , 2 + 6 ) = (-4,8) $$
Nun weiß man niicht mit Sicherheit, ob der Rand des Intervalls auch konvergiert. Für \( x=8 \) wissen wir es, aber für \( x= -4 \) nicht, also erhalten wir den Konvergenzbereich
$$ x \in (-4,8] $$
zur b)
Die geometrische Reihe lautet
$$ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_0 q^k $$
Bei dir gilt \( a_0 = 1 \) und \( q = 3^{-x} \). Was muss nun für \( q \) gelten, damit die geometrische Reihe konvergiert? ─ christian_strack 08.01.2020 um 17:45
fast richtig. Wir wissen das \( x= 2 \) unser Entwicklungspunkt ist und das die Reihe für \( x= 8 \) noch konvergiert.
$$ 8-2 = 6 $$
Wir haben also den Konvergenzradius \( 6 \). Für den Konvergenzbereich gilt
$$ (x_0 - r , x_0 + r ) = ( 2 - 6 , 2 + 6 ) = (-4,8) $$
Nun weiß man niicht mit Sicherheit, ob der Rand des Intervalls auch konvergiert. Für \( x=8 \) wissen wir es, aber für \( x= -4 \) nicht, also erhalten wir den Konvergenzbereich
$$ x \in (-4,8] $$
zur b)
Die geometrische Reihe lautet
$$ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_0 q^k $$
Bei dir gilt \( a_0 = 1 \) und \( q = 3^{-x} \). Was muss nun für \( q \) gelten, damit die geometrische Reihe konvergiert? ─ christian_strack 08.01.2020 um 17:45
Ach Aufgabe a) hab ich jetzt verstanden ist eigentlich ziemlich einfach ich hab nur wieder viel zu kompliziert gedacht. Habe bereits viel schwerere Aufgabentypen hierzu gelöst.
Wenn ich den Konvergenzradius der Potenzreihe bilde kommt ja 6 raus. Danach kann ich wieder die Ungleichung aufstellen -6 < x-2 < 6 und dann komm ich auf das Intervall (-4,8). Mein Denkfehler war ,dass ich dachte ,dass der Konvergenzradius bei 8 liegt.
Zu B) Naja q muss <1 sein dass die Reihe konvergiert. Was ja hier erfüllt ist da q 1/3 ist oder? Also konvergiert die Reihe?
Das heißt ja, dass mein x für 1/3^x nicht größer als 1 werden darf?
Mein Reihenwert für x = 2 ist 9/8. Stimmt das? ─ chris96 08.01.2020 um 23:28
Wenn ich den Konvergenzradius der Potenzreihe bilde kommt ja 6 raus. Danach kann ich wieder die Ungleichung aufstellen -6 < x-2 < 6 und dann komm ich auf das Intervall (-4,8). Mein Denkfehler war ,dass ich dachte ,dass der Konvergenzradius bei 8 liegt.
Zu B) Naja q muss <1 sein dass die Reihe konvergiert. Was ja hier erfüllt ist da q 1/3 ist oder? Also konvergiert die Reihe?
Das heißt ja, dass mein x für 1/3^x nicht größer als 1 werden darf?
Mein Reihenwert für x = 2 ist 9/8. Stimmt das? ─ chris96 08.01.2020 um 23:28
Freut mich zu hören :)
genau, es muss \( |q| < 1 \) gelten.
Das führt uns zu der Ungleichung
$$ | 3^{-x} | = 3^{-x} < 1 $$
Daraus kannst du nun dein Intervall für \( x \) berechnen.
Dein Grenzwert für \( x=2 \) ist richtig :) ─ christian_strack 08.01.2020 um 23:59
genau, es muss \( |q| < 1 \) gelten.
Das führt uns zu der Ungleichung
$$ | 3^{-x} | = 3^{-x} < 1 $$
Daraus kannst du nun dein Intervall für \( x \) berechnen.
Dein Grenzwert für \( x=2 \) ist richtig :) ─ christian_strack 08.01.2020 um 23:59
Also muss x > 0 sein? :)
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chris96
09.01.2020 um 00:02
Yes :)
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christian_strack
09.01.2020 um 00:06