Hallo,

um zu zeigen, das Mengen gleichmächtig sind, kann man eine Bijektion (bijektive Abbildung) zwischen diesen Mengen suchen. Wenn es eine gibt, dann sind die Mengen auch gleichmächtig. 
Das liegt daran, das eine Bijektion eindeutig abbildet und außerdem auf jedes Element der Wertemenge abbildet. Somit wird jedes Element aus der Definitionsmenge auf ein! Element der Wertemenge abgebildet und es wird jedes angenommen.

Wir suchen also eine Bijektion zwischen \( A \times B \) und einer Menge die \( m \cdot n \) Elemente hat. Das ist beispielsweise die Menge

$$ C = \{ 0,1,2, \ldots , mn-1 \} $$

Nun ist \( A \times B \) das direkte Produkt zwischen \( A \) und \( B \). Das heißt in dieser Menge sind Paare. \( (q,r) \) ist ein solches Paar. Also haben wir eine Bijektion

$$ A \times B \to C \\ (q,r) \mapsto qm + r $$

Und deshalb ist die Mächtigkeit der beiden Mengen gleich

$$ | A \times B | = | C | $$

Grüße Christian