Hallo,

du hast leider einen Vorzeichenfehler.

$$ f'(x) = - \frac {2 \cdot 3} {2x+5} $$

Ansonsten sieht deine Ableitungsvorschrift gut aus, nur das der Vorfaktor damit \( (-1)^n \) ist.

Nun gilt aber \( f^{(k)}(x_0) \). Damit erhälst du 

$$ f^{(k)}(2) = (-1)^k \cdot \frac {3 \cdot 2^k \cdot (k-1)!} {(2 \cdot 2 + 5)^k} = 3 \cdot \left(- \frac 2 9 \right)^k (k-1)!  $$

Und damit erhälst du die Taylorreihe

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac { 3 \cdot \left(- \frac 2 9 \right)^k (k-1)!} {k!} (x-2)^k =  \sum_{k=0}^{\infty} 3 \cdot \frac {\left( -\frac 2 9 \right)^k} k (x-2)^k $$

Dies ist nun deine Taylorreihe die deine Funktion approximiert. Sollst du noch den Fehler berechnen? Denn Diese Reihe konvergiert für \( n \to \infty \) bereits gegen deine Funktion. Du brauchst also nur einen Fehler zu berechnen, wenn du diese Reihe abbrechen willst. 

Wenn du den Fehler auf jeden Fall berechnen sollst, dann berechne über \( | x-2 | < 1 \) dein Intervall aus dem du \( x \) wählen darfst. Das ist trivialerweise 

$$ x \in (1,3) $$

Mit diesem Intervall ist es schon einfacher den Maximalfehler zu bestimmen, denn wie du schon sagst, wird der Wert größer wenn der Nenner kleiner wird.

Grüße Christian