Hallo!
\(\displaystyle \frac{1}{k^2} = \frac{1}{k\cdot k} < \frac{1}{k\cdot (k-1)} \), denn \(\displaystyle k\cdot (k-1) < k \cdot k\) [weil \(\displaystyle k > k - 1\)] und Du somit durch eine kleinere Zahl dividierst, sprich der Bruch wird größer. Nun darf aber die Summe nicht bei \(\displaystyle k = 1\) anfangen, denn sonst würde man durch die Zahl \(\displaystyle 0\) teilen. Wir müssen also mit der \(\displaystyle k = 2\) beginnen und erhalten \(\displaystyle \frac{1}{2} + \cdots\). Links vom Gleichheitszeichen haben wir aber am Anfang eine \(\displaystyle 1\), sprich die addieren wir auf der anderen Seite hinzu, damit die Ungleichung in Ihrer Gesamtheit gültig ist/bleibt.
\(\displaystyle \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} = \frac{k-(k-1)}{k(k-1)} = \frac{1}{k(k-1)}\), gemäß der Regel \(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\). Wenn wir nun die Summe ausschreiben, sehen wir, dass sich gewisse Summenglieder herauskürzen, nämlich:
\(\displaystyle \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right) = 1 + \frac{1}{n}\).
Zur nächsten Aufgabe:
\(\displaystyle \sum_{N=0}^{i}\left(\sum_{k=2^N}^{2^{N+1}-1} a_k\right) = \underbrace{\sum_{k=1}^{1}a_k}_{N=0} + \underbrace{\sum_{k=2}^{3}a_k}_{N=1} + \underbrace{\sum_{k=4}^{7}a_k}_{N=2} + \cdots + \underbrace{\sum_{k=2^i}^{2^{i+1}-1}a_k}_{N=i} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2^{i+1}-1} = \sum_{k=1}^{2^{i+1}-1} a_k\), man hat also sozusagen nur die „Menge“, welche man „auf einmal“ summiert, unterteilt.
Desweiteren gilt:
\(\displaystyle \sum_{N=0}^{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{N} = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1}}{1-\frac{1}{2}} < 2\), denn formt man um, erhält man, dass
\(\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} < 2\left(1-\frac{1}{2}\right) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} < 1\), wobei \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} > 0\). Bemerkung: \(\displaystyle 2^{-N} = \frac{1}{2^N} = \left(\frac{1}{2}\right)^{N}\).
Gruß.
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du hast mir unglaublich geholfen. ─ notoleon 11.01.2020 um 15:06