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Hallo,
bei der Trennung der Variablen, bringst du die DGL in die Form
$$ y'(x) = f(x,y(x)) $$
und teilst dann die Funktion \( f(x,y(x)) \) in das Produkt zweier Funktionen \( g(x) \) und \( h(y) \). Diese hängen also jeweils nur von einer der Variablen ab.
Nun ist bereits
$$ h(y) = ay - by^2 $$
eine Funktion die nur von \( y \) abhängt. Deshalb ist im Prinzip
$$ g(x) = 1 $$
und somit
$$ f(x,y(x)) = g(x) \cdot h(y) $$
Nun nutze
$$ y'(x) = \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} $$
teile den Bruch auf und bringe auf eine Seite \( \mathrm{d}y \) und \( h(y) \) und auf die andere \( \mathrm{d}x \) und \( g(x) \).
Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Es gilt
$$ \int \frac 1 {ay-by^2} \mathrm{d}y = - \frac {\ln(\frac a y -b)} a $$
─ christian_strack 14.01.2020 um 21:52
$$ \int \frac 1 {ay-by^2} \mathrm{d}y = - \frac {\ln(\frac a y -b)} a $$
─ christian_strack 14.01.2020 um 21:52
dy/(ay-by²) =1dx
(ln(y)-ln(a-by))/a = x+c, wobei c asu c1 und c2 besteht
e^((ln(y)-ln(a-by))/a) = e^(x+c)
y(x)=(e^(x+c+a)+a)/(1-b) ---> das sollte die allg. Lösung sein.
Setze ich nun meinen Anfangswert y(0)=a/(2b) in die allg. Lösung ein, hapert es etwas bei mir.
y(0)=a/(2b)=(e^(c+a)+a)/(1-b)
Habe aber die Vermutung, dass meine allg. Lösung nicht stimmt. ─ hunter94 14.01.2020 um 21:42