Ist die Basis des Zeilenraums so richtig bestimmt ?


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Hallo,

ich versuche die folgende Aufgabe zulösen und wollte fragen ob das so richtig ist:

Lieben Gruß

 

gefragt vor 6 Tage, 23 Stunden
m
mimihopsi,
Student, Punkte: 185
 
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1 Antwort
1

Hallo,

knüpfen wir hier direkt passend zur letzten Aufgabe an :)

Der Anfang ist richtig. Nun bringe aber die Matrix in Zeilenstufenform. Dadurch siehst du wieder wie viele linear unabhängige Zeilen du hier hast. Die Zeilen in der Zeilenstufenform liefern dir dann wieder die Basis deines Zeilenraums. 

Wenn ich das richtig sehe, ist das die selbe Matrix wie aus der anderen Aufgabe. Das heißt du hast die Zeilenstufenform ja bereits aufgestellt. Daran siehst du dann, das der Rang \( 3 \) ist und nicht \( 4 \).

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Tage, 15 Stunden
christian_strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 18.92K
 

Hallo mal wieder :D,
super probiere ich mich morgen dann dran !

Lieben Gruß
  -   mimihopsi, kommentiert vor 6 Tage, 15 Stunden

:D alles klar. Melde dich gerne wieder wenn es zu Problemen kommt :)   -   christian_strack, verified kommentiert vor 6 Tage, 15 Stunden

Also habe ich eigentlich alles was ich brauch aus der anderen Aufgabe ?
Da kann ich ja die Zeilenstufenform übernehmen , die Basis ist auch die gleiche oder ?
  -   mimihopsi, kommentiert vor 6 Tage, 3 Stunden

Ja genau. Wie lautet dann deine Basis? :)   -   christian_strack, verified kommentiert vor 6 Tage, 2 Stunden

A= { (1, 4, 7, 9) , (0, 3, 6,,9) , (0, 0 ,0,9) } also als Vektoren untereinander geschrieben habe leider den code dafür noch nicht gefunden .
Diese hatten wir ja bei der anderen Aufgabe raus.
  -   mimihopsi, kommentiert vor 6 Tage, 1 Stunde

mit \"begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix} erzeugst du
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}$$
Der Code muss in zwische \"( \") oder $"$ $"$ gesetzt werden ( das zweite zentriert den Befehl). Beides ohne ". Das habe ich nur gesetzt, damit Mathjax nicht aktiviert wird :)

Nun zur Aufgabe. Du hast jetzt die Matrix genommen, bei der die gegebenen Vektoren als Zeilen eingetragen wurden.
Du sollst hier aber die Vektoren als Spalten eintragen und dann die Basis des Zeilenraums aufstellen.

Wir kamen bis hier hin
$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 9 \\ 0 & 3 & 6 & 18 \\ 0 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
hier kann man noch eine Zeilenumformung vornehmen.
Ist das verständlich, das du dieses mal die andere (nicht transponierte) Matrix nehmen musst?
  -   christian_strack, verified kommentiert vor 6 Tage, 1 Stunde

Nein ist mir leider nicht klar wieso ich die andere Matrix nehmen muss um diese Aufgabe zu lösen, da bei beiden sie Vektoren in Spalten angeben sind

Zur Matrix :
\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 5 \\ 6 \\ 0 \\ 0 9 \\ 18 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}

jetzt fehlt noch das die Vektoren nebeneinander stehen , ups
  -   mimihopsi, kommentiert vor 6 Tage, 1 Stunde

Wenn du eine Matrix schreiben willst, dann trenne die Zeileneinträge mit einem &
\"begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 9 \\ 0 & 3 & 6 & 18 \\ 0 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
wird zu
$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 9 \\ 0 & 3 & 6 & 18 \\ 0 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Ok versuchen wir es einmal anders.
Wir nehmen deine ursprüngliche Matrix
$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 9 \\ 3 & 4 & 5 & 9 \\ 6 & 7 & 8 & 9 \\9 & 9 & 9 & 9 \end{pmatrix} $$
Diese entsteht weil wir die Vektoren Spaltenweise in die Matrix eintragen.
Ich will nochmal einen kleinen Exkurs hier einführen:
Eine Matrix ist in erster Linie erstmal nichts anderes als eine Art Tabelle. Diese Tabelle drückt eine Art von Zuordnung aus. Deshalb können wir die Matrix Vektor Multiplikation auch als eine Abbildung interpretieren, denn sie ordnet eine anfänglichen Verteilung (ausgedrückt durch den Vektor) einer neuen Verteilung zu (Ergebnisvektor)
Nun hat aber wenn wir eine Matrix in Zeilenstufenform bringen, die Abbildung die durch die Zeilenstufenform ausgedrückt wird nichts mehr mit der ursprünglichen Matrix zu tun. Also
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} \neq \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} $$
Bis hier hin verständlich?

Was genau bedeutet es also das wir eine Zeilenstufenform erzeugen? Nehmen wir mal deine Matrix her und würden wir diese mit dem Einheitsvektor
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
multiplizieren, dann würden wir die erste Spalte erhalten
$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} $$
mit dem zweiten Einheitsvektor die zweite usw.
Deshalb sagt man auch, dass die Spaltenvektoren einer Matrix den Bildraum der Abbildung erzeugen (ein Erzeugendensystem des Bildraums bilden).

Nun können wir aus einem Erzeugendensystem eine Basis machen, indem wir alle linear abhängigen Vektoren "eliminieren". Und wegen dieser Idee nutzen wir oft die Treppenstufenform.
Wir haben in der letzten Zeile der Treppenstufenform eine Nullzeile. Ich benenne mal mit \( z_i \) die einzelnen Zeilenvektoren. Dann ist diese Nullzeile entstanden durch
$$ z_4 - 3 z_2 + z_1 = 0 $$
Das bedeutet also nichts anderes, als das wir einen dieser drei (\(z_1,z_2,z_4\)) Zeilenvektoren durch die anderen beiden darstellen können (erzeugen können). Sie sind also linear abhängig.
Die Zeile
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} $$
wird ja auch durch die Linearkombinationen der ursprünglichen Zeilenvektoren berechnet und die anderen beiden Zeilen der Zeilenstufenform waren von vorne herein schon Zeilenvektoren unsere Matrix.

Was will ich dir mit all dem überhaupt sagen?
Zuerst mal erzeugen die Spaltenvektoren nicht den selben Raum wie die Zeilenvektoren (zumindest nicht immer). Der Zeilenraum ist somit nicht zwangsläufig der selbe Raum wie der Spaltenraum.
Nun wird in dieser Aufgabe hier explizit nach dem Zeilenraum gefragt. Deshalb bringen wir die Matrix in Zeilenstufenform. Die Zeilenvektoren die dann am Ende dort stehen sind dann eine Basis des Zeilenraums (nicht es Spaltenraum!).
In der anderen Aufgabe ging es mehr darum, das die 4 Vektoren einen Vektorraum erzeugen. Allerdings sind nicht alle linear unabhängig. Um eine Basis zu finden, müssen wir prüfen welche Vektoren davon linear abhängig von den anderen sind. Um dies aber herauszufinden, müssen die Operationen auf die Vektoren ausgeführt werden, deshalb kam ich mit der transponierten Matrix um die Ecke (das hat anscheinend viel Verwirrung aufgerufen) denn es sah für mich so aus (und so ist es aus Erfahrung bei den meisten) das dir die elementaren Zeilenumformungen eher liegen, ist auch komisch die Operationen auf die Spalten anzuwenden :p
Wenn du in der anderen Aufgabe nun die selbe Matrix genommen hättest wie hier und dazu die selbe Rechnung durchgeführt hättest, dann hättest du eine Basis zum Erzeugendensystem
$$ \left< \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\ 9 \\ 9\\ 9\end{pmatrix} \right> $$
gefunden.

Das ist jetzt sehr viel auf einmal, aber ich hoffe es gibt dir ein etwas besseres Gefühl dafür was wir überhaupt in den Aufgaben erreichen wollen und warum wir tun was wir tun.
Wenn nicht, melde dich gerne nochmal.

Nun nochmal kurz zu deiner Aufgabe. In Zeilenstufenform, erhälst du die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 9 \\ 0 & 3 & 6 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Wie sieht nun deine Basis aus?
  -   christian_strack, verified kommentiert vor 5 Tage, 19 Stunden

Ich glaube ich habe alles verstanden.

Wäre die Basis dann einfach B={ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} } Oder muss ich die Nullreihe weg lassen ?
  -   mimihopsi, kommentiert vor 5 Tage, 18 Stunden

Denk dran das du die Basis des Zeilenraum bestimmen sollst. Deine Vektoren sind also die Zeilen, also
$$ \mathcal{A} = \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \\ 18 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \right\} $$
  -   christian_strack, verified kommentiert vor 5 Tage, 1 Stunde

Ach ja war gedanklich noch bei der anderen Aufgabe !
Danke gehe es nochmal in Ruhe durch denke aber ich habe es verstanden.
Vielen lieben dank :)
  -   mimihopsi, kommentiert vor 5 Tage, 1 Stunde

Ist mir auch die ganze Zeit passiert als ich den langen Text geschrieben habe :D
Ja lass dir Zeit dafür und wenn doch nochmal eine Frage auftaucht, melde dich gerne nochmal.
Sehr gerne :)
  -   christian_strack, verified kommentiert vor 5 Tage, 1 Stunde
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