Wie löse ich diese Aufgabe? (Differentialrechnung)

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Ich habe noch im Kopf das bei Berührpunkten F(x)=G(x) und F´(x)=G´(x) sein muss, allerdings hilft mir das grade nicht weiter bzw vielleicht habe ich ja einfach ein Brett vorm Kopf :D hat jemand eine Idee wie ich hier zur Lösung komme? Ich habe grade echt kein Ahnung..

 

gefragt vor 5 Monate, 4 Wochen
c
chimp,
Student, Punkte: 15

 
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2 Antworten
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Hallo chimp,

erstmal die benötigten Themen: ich mache statt Alpha den Buchstaben a

Aufgabe a) ..das Polynom berührt. Berühren ist eine Tangente. Tangenten bekommt man durch die erste Ableitung. g(x) = 4. Damit hast Du eine waagerechte Tangente. Das bedeutet Steigung = 0. Was wiederum heißt, dass es ein Minima / Maxima ist. Hier ein lokales Maximum. Die bekommst Du indem Du die erste Ableitung 0 setzt.

Ob Du ein Minimum oder Maximum hast zeigt dir die zweite Ableitung. Ergibt das Ergebnis von f‘(x)=0 in f‘‘(x) eingesetzt einen negativen Wert hast Du ein Maximum. Mit diesen Fakten kannst Du a bestimmen. Wenn Du a hast kannst Du den Wert in f(x) einsetzen. Dann bekommst Du Deine x Werte für y=4. Damit hast Du B und S

Nun musst du das bestimmte Integral berechnen was Dir die Fläche zwischen der X-Achse und dem Polynom gibt. Glück gehabt, das Integral wird nicht negativ ;-) Da man aber „das andere Stück“ haben will musst Du das Integral vom Rechteck (s-b)*y subtrahieren.

1. erste Ableitung bilden: \(f(x)=x(x-a)^2; f'(x) = 3x^2-4ax+a^2 = (3x-a)(x-a)\)
2. Ableitung 0 setzen, Satz vom 0 Produkt: \(3x-a=0 \to a=3x\) und \( x-a=0\to a=x\)
3. Zweite Ableitung bilden: \(f‘(x)= 3x^2-4ax+a^2; f‘‘(x) = 6x-4a\)
4. Ergebnis aus 2 in 4 einsetzen.
4a) \(6x-4x = 2x \to \) eindeutig positiv, also Minima. Brauchst Du nicht.
4b) \(6x-12x = -6x \to \) eindeutig negativ. Somit ist a = 3. Aufgabe a) gelöst.
5. a in f(x) einsetzen und 0 setzen. \(f(x)=y(x)=4=x(x-3)^2 \to x^3-6x^2+9x-4=0\)
6. Nullstellen bestimmen. Geht hier z.B. gut mir Horner Schema. Du solltest x1=1, x2=1 und x3=4 bekommen. Somit ist B(1,4) und S(4,4). Aufgabe b) gelöst.
7. \( \int_b^s{x(x-3)^2}\) berechnen. Unbestimmtes Integral \(\int{x(x-3)^2}\) bestimmen. Das geht mit Substitution \(u=(x-3)\) dann bekommst Du \(\frac {u^4 }{4}+u^3\). Rücksubstituiert ergibt das dann \(\frac {(x-3)^4 }{4}+(x-3)^3\). Die Grenzen 4 und 1 eingesetzt ergibt \(\frac {21}{4}\). Das dann von 3*4 abziehen -> fertig, Aufgabe c) gelöst. Ich bekomme \(\frac {27}{4}\) raus. . Ich hoffe ich habe keinen Rechenfehler gemacht.

LG jobe

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
j
jobe
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 297
 
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Hallo chimp,

bei 4b) war ich vielleicht etwas zu schnell. Wie kommt man von \(a=3x\) zu \(a=3\)? Indem man das Ergebnis in f(x) einsetzt. Dann hast Du \(f(x)=4=x(x-3x)^2 \to 4=4x^3\) was 1 ergibt. 1 in \((3x-a)=0\) eingesetzt ergibt a=3.

Warum habe ich bei 4) nur positive x betrachtet? Da kein Definitionsbereich angegeben ist gehe ich nach dem Diagramm und das hört bei x=0 auf, also nur positive x. Ich hoffe, nun ist alles erklärt.

LG jobe

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
j
jobe
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 297
 
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