So ist der lineare Isomorphismus nicht gezeigt oder ?

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Hallöchen,

das in Beistift geschriebene habe ich aus einem Beweis aus der VL. Ich denke aber nicht dass es das erfüllt was ich zeigen sollte oder ?

Bin für Tipps gerne offen !

Gruß

 

gefragt vor 5 Monate, 3 Wochen
m
mimihopsi,
Student, Punkte: 222

 

Die Abbildung die du hingeschrieben hast schickt \(n\times 1\)-Matrizen auf \(n\times 1\)-Matrizen und hat mit der Transposition nichts zu tun.   -   kaffeebohne, vor 5 Monate, 3 Wochen
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1 Antwort
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Zu zeigen ist, dass die Abbildung \(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K})\overset{\psi}{\to}\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb{K})\)

welche durch \(A\mapsto A^T\) gegeben ist ein Isomorphismus von \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen ist.

Hierzu muss man nur nachrechnen, dass

1.) \(\psi\) ein Homomorphismus von \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen ist und, dass

2.) \(\psi\) invertierbar ist, also dass es einen inversen Homomorphismus gibt.

 Zum Punkt 1.) muss für alle \(A,B\in\mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{K}),\lambda\in \mathbb{K}\) \((A+B)^T=A^T+B^T\) und \((\lambda A)^T=\lambda A^T\) gezeigt werden.

Zum Punkt 2.) muss nur gezeigt werden, dass \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})\overset{\phi}{\to}\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K}),B\mapsto B^T\) invers zu \(\psi\) ist. Konkret bedeutet das, dass für alle \(A\in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{K}), B\in\mathcal{M}_{m, n}(\mathbb{K})\) gezeigt werden muss

\(A^{TT}=A,B^{TT}=B\).

 

 

 

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
k
kaffeebohne
Student, Punkte: 160
 

Strenggenommen musst du auch zeigen, das auch die Abbildung \(\phi\) ein Homomorphismus ist, aber der Beweis ist ja der gleiche wie für \(\psi\) nur, dass \(n,m\) vertauscht sind, und da du \(n,m\) als beliebig angenommen hast musst reicht ein Beweis für beide Abbildungen, wenn du weißt was ich meine :).   -   kaffeebohne, vor 5 Monate, 3 Wochen
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