Partielle Ableitung mit drei Variablen und Bruch

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Guten Morgen,

ich zerbreche mir an folgender Aufgabe den Kopf:

Gesucht ist die Ableitung der Funktion:

\( z =\frac {a * sin ( b * c)}  {c^2} \)

a) \(\frac {\partial z}{\partial a}\)

b) \(\frac {\partial z}{\partial b}\)

c) \(\frac {\partial z}{\partial c}\)

 

Nun habe ich mir überlegt, dass für a gelten müsste, dass u=a, u' fällt weg, v=sin(bc), v'=cos (bc), w=c² und w'=2c

Wenn ich nun Quotientenregel und Produktregel anwende, müsste sich ergeben: \( z' =\frac {a' * v * v * w - a * v' * v * w + [...]}  {w^2} \)
Das kommt mir aber sehr viel vor. Sodass ich davon ausgehe, dass ich da irgendwas durcheinandergeworfen habe.
Daher wäre ich dankbar, wenn mir jemand eine Schritt für Schrittanleitung geben könnte.

Gilt für c) \( z' =\frac {sin (bc) + a * cos (bc) * b}  {2c} \) ?

Danke und Gruß

 

gefragt vor 5 Monate, 3 Wochen
d
datze,
Student, Punkte: 10

 

was genau meinst du mit \( z'\)?   -   chrispy, vor 5 Monate, 3 Wochen
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1 Antwort
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Also wenn ich das richtig verstehe, dann ist \(z(a,b,c) = \frac{a\cdot sin(bc)}{c^2}\) und du willst die partiellen Ableitungen \(\frac{\partial z}{\partial a}\), \(\frac{\partial z}{\partial b}\), \(\frac{\partial z}{\partial c}\) berechnen. Um eine partielle Ableitung nach einer Variable zu berechnen, setzt man die anderen Variablen 'konstant' und betrachtet die Funktion nur in einer Variable und differenziert. In diesem Fall wäre also \(\frac{\partial z}{\partial a} = \frac{sin(bc)}{c^2}\), \(\frac{\partial z}{\partial b} = \frac{ca\cdot cos(bc)}{c^2} \).
Für \(c)\) benötigen wir die Quotientenregel. Es gilt: \(\Big(\frac{f(x)}{g(x)}\Big)' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\) . Daraus folgt dann für \( c) \) mit \( f(c) = a\cdot sin(bc)\) und \(g(c) = c^2\), dass \(\frac{\partial z}{\partial c}  = \frac{ba \cdot cos(bc) \cdot c^2 - 2c \cdot a\cdot sin(bc)}{c^4}\). Falls was nicht klar ist, kannst du gerne nochmal nachcfragen.

MfG Chrispy

 

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
c
chrispy
Student, Punkte: 978
 
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