Von x(t) und y(t) auf f(x) kommen?

Aufrufe: 107     Aktiv: vor 5 Monate, 3 Wochen

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Die Funktion ist gegeben als x(t)= cos^3(t) und y(t)=sin^3(t), jetzt soll man die Bogenläge von f(x) im Intervall von t=0,pi/2 berechnen.

Aber wie kommt man überhaupt auf f(x)? Bitte um Hilfe:)

 

gefragt vor 5 Monate, 3 Wochen
a
anna.neyer11,
Punkte: 10

 

Wie ist denn \(f\) definiert? Das hast du uns leider nicht verraten. Aber ich vermute mal, dass damit die Funktion gemeint ist die durch \(x\mapsto y\) gegeben ist!?
Dann musst du einfach nur \(t\) eliminieren, indem du das \(t\) in \(x(t)\) und das \(t\) in \(y(t)\) gleichsetzt. Beachte auch, dass im allgemeinen durch zwei Parametergleichungen \(x(t)=0\) und \(y(t)=0\) durch die Zuweisung \(x\to y\) nicht immer eine Funktion \(f\) definiert ist. Das klappt manchmal nur, wenn man den Definitionsbereich und Wertebereich richtig wählt.
Zum Beispiel bekommt man für \(t\mapsto (x(t)=\mathrm{cos}(t),y(t)=\mathrm{sin}(t))\) einen Kreis (oder allgemeiner eine Lissajous-Figur). Ein Kreis ist aber eine Figur die nicht eindeutig eine Funktion bestimmt. Zu einem \(x\) Wert kommen immer zwei \(y\)-Werte in Frage. Schränkt man den Wertebereich ein, dann kann man eine Funktion \(x\mapsto y\) definieren.
Ich kann aber erst mit konkreten Vorschlägen weiterhelfen, wenn du mir sagst wie \(f\) definiert sein soll. Soll \(f\) durch \(x\mapsto y\) gegeben sein?
  -   kaffeebohne, vor 5 Monate, 3 Wochen
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1 Antwort
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Ich kürze mal mit \(s=\mathrm{sin}(t)\) und \(c=\mathrm{cos}(t)\) ab.

Es gilt \(y=s^3=s(1-c^2)\overset{\text{für }\cos(t)\not=0}{=}s-\frac{sx}{c}\).

Hierraus folgt \(yx^2=(\frac{s}{c}x)^3=(s-y)^3\).

Hierraus folgt - da \(x\mapsto x^3\) auf ganz \(\mathbb{R}\) invertierbar ist -

\(s=y+\sqrt[3]{yx^2}\) und folglich 

\(s^3+s(\sqrt[3]{x^2}-1)=0\).

Wenn \(s\not=0\), also genau dann wenn \(y\not=0\) dann folgt 

\(\sqrt[3]{y}^2=s^2=1-\sqrt[3]{x^2}\). 

Du kannst jetzt die positive Wurzel nehmen und bekommst:

\(y=(\sqrt{1-\sqrt[3]{x^2}})^3\).

Das gilt solange \(x,y\not=0\).

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
k
kaffeebohne
Student, Punkte: 160
 
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