Die Gleichung kann man nicht einfach elementar lösen.

Es gibt aber eine Lösung die die Lambert W Funktion benützt. Eine andere Möglichkeit ist mit Taylor Polynomen anzunähern.

Machen wir erst das mit der Lambert Funktion:

Setze \(y=x-1\).

Dann gilt:

\(ye^{2y}=\frac{4}{e^2}\). Setze nun \(z=2y=2x-2\).

Dann gilt

\(ze^z=\frac{8}{e^2}=\colon c\).

Diese Gleichung hat als Lösung \(W_0(c)\), wo

\(W_0(c)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-n)^{n-1}}{n!}c^n=c-c^2+\frac{3}{2}c^3-\frac{8}{3}c^4+\dotsc\).

Eine gute Näherung ist also \(z\sim\frac{16e^4-128e^2+512}{2e^6}\sim 0.54504\),

also\(x=\frac{z+2}{2}\sim 1.272\)

Nun mit der Taylorentwicklung am Nullpunkt. Das hat Aussicht auf Erfolg, da die Lösung nahe bei \(0\) liegt.

Es gilt näherungsweise \(e^{2x}\sim 1+2x+\frac{(2x)^2}{2}\) also

\((x-1)(1+2x+\frac{(2x)^2}{2})=4\). Das führt zu \(x^3-\frac{x}{2}-\frac{5}{2}=0\)

Gleichungen der Form \(x^3+px+q=0\) kann man mit Cardanos Formel nach einer reellen Zahl auflösen, wenn \(4p^3+27q^2>0\) gilt, was hier der Fall ist. Es gilt also:

\(x\sim \sqrt[3]{\frac{5}{4}+\sqrt{\frac{25}{16}-\frac{1}{8\cdot 27}}}+\sqrt[3]{\frac{5}{4}-\sqrt{\frac{25}{16}-\frac{1}{8\cdot 27}}}\sim 1.234\), wenn ich mich nicht verrechnet habe :).