Hallo,

schon mal eine kleine Anmerkung. Bei der Fallunterscheidung steht beispielsweise

$$ | x-1 |> 0 $$

Das ist nicht dein Fall, denn das gilt immer. Außerdem machen wir beim Betrag eine Fallunterscheidung aufgrund der Definition des Betrages. Der Betrag ist definiert über

$$ |x| := \left\{ \begin{matrix} x & \text{für} \ x\geq 0 \\ -x & \text{für} \ x < 0 \end{matrix} \right. $$

Wenn das innere des Betrages nicht negativ (positiv oder Null) ist, dann können wir die Betragsstriche weglassen und wenn das Innere negativ ist, dann müssen wir Anstelle des Betrages Klammerns setzen und ein Minus davor packen.

Nun ist dein 1. Fall:

$$ (x-1) \geq 0 \land (2x+4) \geq 0 $$

Damit ist der Definitionsbereich des ersten Falls mit

$$ x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \Rightarrow x \in [1, \infty) $$

und

$$ 2x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \Rightarrow x \in [-2, \infty) $$

somit

$$ \begin{array}{cccc} & (x-1) \geq 0 & \land & (2x+4) \geq 0 \\ & x \in [1, \infty) & \land & x \in [-2, \infty) \\ x \in &  [1, \infty) & \cap &[-2, \infty) \end{array} $$

Da wir nun in beiden Intervallen liegen müssen, nehmen wir den Schnitt und halten final für den ersten Fall das Intervall

$$ x \in [1, \infty) $$

Warum ich nun das nochmal sage, ist das so wie du es geschrieben hast, mit \( > \) anstatt \( \geq \), wäre deine erste Lösungsmenge leer, da die \( 1 \) dann nicht in dem finalen Intervall drinne wäre. Aber dadurch, das wir ein \( \geq \) haben, ist der Randpunkte mit im Intervall und wir haben wie du  schon richtig sagst als Lösung des ersten Falls

$$ \mathbb{L}_1 = \{ 1 \} $$

Damit kommen wir auch zum zweiten Fall. Hier ist das \( < \) richtg. Damit liegen die Randpunkte nicht mehr im Intervall.
Wir erhalten als Definitionsintervall des zweiten Falls wie du schon richtig sagst

$$ x \in (- \infty, -2) $$

Nun erhälst du hier aber als Lösung

$$ x = -3 $$

Dieses \( x \) liegt in unserem Intervall, ist also Lösung unserer Gleichung. Aber nur dieses \(x\). Die Lösung des zweiten Falls ist somit

$$ \mathbb{L}_2 = \{ -3 \} $$

Auf zum dritten Fall. Hier müssen wir wieder aufpassen. Wir haben kein \( > \), sondern ein \( \geq \).

Wir erhalten also als Definitionsintervall

$$ x < 1 \land x \geq -2 $$

also

$$ x \in (-\infty,1) \cap [-2, \infty) \Rightarrow x \in [-2,1) $$

Jetzt erhalten wir aber als Lösung \( x = 1 \). Die \( 1 \) liegt aber nicht in unserem Definitionsintervall, denn es sollen ja alle kleiner als \( 1 \) und nicht kleiner gleich \( 1 \) sein. Somit ist unsere dritte Lösungsmenge

$$ \mathbb{L}_3 = \emptyset $$

Jetzt noch der letzte Fall:

Hier sind wir nach der Betrachtung des Definitonsintervall schon fertig, denn wir erhalten

$$ x \geq 1 \land x < -2 $$

Nun existiert aber keine Zahl, die größer gleich \( 1 \) ist und gleichzeitig kleiner als \( -2 \) ist. Also ist unser Definitionsintervall

$$ x \in \emptyset $$

Da die Lösung aber im Definitionsintervall liegen muss, kann die letzte Lösunsgmenge nur

$$ \mathbb{L}_4 = \emptyset $$

sein. 

Die endgültige Lösung kommt nun durch die Vereinigung aller berechneten Lösungsmengen zustande.

$$ \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 \cup \mathbb{L}_3 \cup \mathbb{L}_4 = \{ 1,-3\} $$

Falls noch etwas unklar ist,  melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian