Umformen einer Folge

Aufrufe: 831     Aktiv: 24.01.2020 um 13:30
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Guten Abend,

mein Name ist Jonathan G. ich bin 18 Jahre alt und beginne kommendes Wintersemester Physik zu studieren.

Da es bis jetzt keine Antworten gab, gebe ich so viel Input wie möglich.

E_A(n): Eine Variable, die abhängig von der Variablen n ist. Die Variable n hat als Def.-bereich die Menge aller natürlichen Zahlen (ohne Null).

G_R: Eine Konstante

Q-1: Q ist eine Konstante, daher Q-1 auch

Ziel ist es, alle E_A(n) aus der Summe zu eliminieren, damit ausschließlich G_R und Q als Konstanten existieren, sowie auf linker Seite ein einzelnes E_A(n) existiert. Einen ersten Ansatz habe ich bereits, nur weiß ich leider nicht, wie man das weiter vereinfacht.

Mir fehlt gerade nur das letzte Mosaiksteinchen, hoffe ihr könnt mir helfen. Ich habe da eine Vermutung mit einem Summenzeichen, das den Exponenten im Nenner wachsen lässt.

Vielen Dank und viele Grüße

 

 

 

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Student, Punkte: 60

 
Das ist für mich zu wenig Input. Wichtig wäre zu wissen, was E,a,g,r,e,i und q für Objekte sind. Es kann sich um Konstanten, Vektoren, Matrizen etc. handeln. Nur im Kontext kann man die Rechenregeln anwenden.   ─   holly 20.01.2020 um 20:04
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Hallo,

du hast doch schon da einen guten Anfang geleistet. Allerdings ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen.

Es ist richtig, dass

$$ E_A(2) = \frac {G_r} {Q-1} + \frac {G_r} {(Q-1)^2} $$

ist. Allerdings ist dann

$$ E_A(3) = \frac {G_r} {(Q-1)} + 2\frac {G_r} {(Q-1)^2} + \frac {G_r} {(Q-1)^3} $$

Weiter ist 

$$ E_A(4) =  \frac {G_r} {(Q-1)} + 3\frac {G_r} {(Q-1)^2} + 2\frac {G_r} {(Q-1)^3} + \frac {G_r} {(Q-1)^4} $$

Bis auf den ersten Summanden \( \frac {G_r} {Q-1} \), kommt bei jedem weiteren Schritt ein weiterer Summand zu jeder Potenz von \( (Q-1) \) mit dazu.

Also können wir schon ohne berechnen sagen, dass

$$ E_A(5) = \frac {G_r} {(Q-1)} + 4\frac {G_r} {(Q-1)^2} + 3\frac {G_r} {(Q-1)^3} + 2\frac {G_r} {(Q-1)^4} + \frac {G_r} {(Q-1)^5} $$

gilt. Daraus kannst du dir nun eine Vorschrift basteln, die du mittels vollständiger Indukion beweisen kannst. 

Grüße Christian

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Danke, der Fehler war mir gar nicht aufgefallen. Ich habe meine Fragestellung bearbeitet und mein Ergebnis mit reingepackt.
Viele Grüße und top, dass du so viele Fragen auf so einem hohen Niveau beantwortest!
Jonathan   ─   jonathan108 21.01.2020 um 18:15
:) Wenn ich kann helfe ich immer gerne. Aber leider muss ich sagen ist mir hier auch ein kleiner Fehler passiert.
Es gilt
$$ E_A(4) = \frac {G_r} {(Q-1)} + 3\frac {G_r} {(Q-1)^2} + 3\frac {G_r} {(Q-1)^3} + \frac {G_r} {(Q-1)^4} $$
und
$$ E_A(5) = \frac {G_r} {(Q-1)} + 4\frac {G_r} {(Q-1)^2} + 6\frac {G_r} {(Q-1)^3} + 4\frac {G_r} {(Q-1)^4} + \frac {G_r} {(Q-1)^5} $$
ich habe mal noch einen weiteren gemacht
$$ E_A (6) = \frac {G_r} {(Q-1)} + 5\frac {G_r} {(Q-1)^2} + 10\frac {G_r} {(Q-1)^3} + 10\frac {G_r} {(Q-1)^4} + 5\frac {G_r} {(Q-1)^5} + \frac {G_r} {(Q-1)^6} $$
Aber es fällt hier trotzdem eine Struktur auf. Und zwar sind die Vorfaktoren identisch mit dem pascalschen Dreieck und dieses kann man mit Hilfe des binomialkoeffizienten darstellen.
Wir erhalten damit die Reihe
$$ E_A(n) = \sum\limits_{i=1}^n \binom{n}{i} \frac {G_R} {(Q-1)^i} $$   ─   christian_strack 22.01.2020 um 13:06
Ich wollte gerade diesen Fehler posten und korrigieren :D das ist ja nicht zu fassen. Ich hatte die alte Lösung durchgerechnet und für n >= 3 ist sie falsch.
Viele Grüße   ─   jonathan108 23.01.2020 um 21:22
Ja da war ich etwas zu voreilig :D
Klappt es denn jetzt mit der neuen Reihe? Willst du die Gültigkeit überhaupt noch beweisen, oder reicht dir das umstellen?   ─   christian_strack 24.01.2020 um 13:30

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