Hallo!

Hierbei führt man die Trennung der Veränderlichen durch:

a)

\(\displaystyle  \frac{1}{1-\tan(y)}\,\mathrm{d}y = \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{2}\big(y-\ln\left[\cos(y)-\sin(y)\right]\big) = \mathrm{e}^x + C\).

Mit der Anfangsbedingung muss man nun weiterrechnen.

b)

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\mathrm{e}^{2y}\sin(3x) \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-2y}\,\mathrm{d}y = \sin(3x)\,\mathrm{d}x \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-2y} = \frac{2}{3}\cos(3x) + C \quad\Longleftrightarrow\quad y = -\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2}{3}\cos(3x)+C\right)\).

Nun wie unten das Beispiel ausrechnen.

\(\displaystyle  -\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2}{3}+C\right) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad C = \mathrm{e}^{-2}-\frac{2}{3}\).