Statistik Beweis Varianz Verschiebungssatz

Aufrufe: 1771     Aktiv: 23.01.2020 um 22:51
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Eine dieser Behauptungen ist richtig. Ich konnte Behauptung 2 ausschließen. Könnte mir jemand weiterhelfen. Ich vermute Antwort 1 ist richtig, kann es aber nicht mathematisch beweisen. Besten Dank!

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Student, Punkte: 74

 
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Ja nur Antwort 1 ist richtig:

\( \operatorname{Var}(2X)=4\operatorname{Var}(X)=4\mathrm E(X^2)-4(\mathrm E(X))^2 \)

Da \( (\mathrm E(X))^2\geq 0 \), folgt die Aussage.

 

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Student, Punkte: 4.59K

 
Vielen Dank für die Antwort. Ich habe nun nochmal oben den Beweis ergänzt. Für Aussage 3 fällt mir keine Widerlegung ein, da man ja nicht pauschal sagen kann, dass die Schiefe/ 3. Moment größer ist als die Varianz oder?   ─   3inst3in 23.01.2020 um 19:02
Wenn X standardnormalverteilt ist, dann ist die Ungleichung falsch:
\( E(X^3)-2(EX)^3-3E(X^2)EX\geq E(X^2)-(EX)^2 \)
\( 0-2\cdot 0^3-3\sigma^2\cdot 0\geq \sigma^2-0^2 \)   ─   holly 23.01.2020 um 19:06
genau, deswegen reicht ein Gegenbeispiel, um die Gleichung zu widerlegen.   ─   holly 23.01.2020 um 19:14
Okay aber was ist wenn X nur einer stetigen Verteilung folgt, bspw. Exponential oder Pareto-Verteilung. Man kann es ja nur widerlegen bei einer Standardnormalverteilung.   ─   3inst3in 23.01.2020 um 19:16
Naja, aber in der Aufgabestellung steht: Für JEDE Zufallsvariable, also müsste es ja auch für X~N(0,1) gelten.   ─   holly 23.01.2020 um 19:17
Ja das stimmt. Vielen Dank für die Antworten.   ─   3inst3in 23.01.2020 um 22:51

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